Matematyka.pl

Proszę zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}.}\)

Załóżmy, że szereg jest zbieżny.

Wówczas warunek konieczny zbieżności

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}=\lim_{n\to \infty} \cos\left(\frac{1}{n}\right)\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n+3} = 1\cdot 0 = 0 }\) jest spełniony.

I sposób

Z wykresu widać, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN }\) jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}< \cos\left(\frac{1}{n}\right).}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2n+3}< \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2n}< \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} < \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN.}\)

Ponadto szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n} }\) jest rozbieżny, bo \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty.}\)

Z twierdzenia

Jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \infty }\) i \(\displaystyle{ c }\) jest dowolną liczbą dodatnią, to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_{n} = \infty.}\)

i na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności szeregów, szereg dany jest rozbieżny.

II sposób

Wiadomo, że

\(\displaystyle{ 0 < \sin\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} }\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ 0 < \sin\left(\frac{1}{n}\right)\cos\left(\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN.}\)

Korzystając ze wzoru na \(\displaystyle{ \sin(2\alpha), }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ 0 < \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right)< \frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN. \ \ (*)}\)

Wykażemy, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right) }\) jest rozbieżny.

Stąd i z \(\displaystyle{ (*) }\)

na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności szeregów - szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{1}{n}\right), }\)

a więc i szereg

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+3}\cos\left(\frac{1}{n}\right) }\) jest rozbieżny.

Żeby wykazać rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\sin\left(\frac{2}{n}\right) }\), wystarczy wykazać rozbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{2}{n}\right).}\)

Mamy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} = 1,}\)

więc

\(\displaystyle{ \left|\frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} -1 \right| < \frac{1}{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ n> k, }\) gdzie \(\displaystyle{ k }\) jest
odpowiednio dobraną liczbą naturalną.

Zatem

\(\displaystyle{ 1 -\frac{1}{2} < \frac{\sin\left(\frac{2}{n}\right)}{\frac{2}{n}} < 1 + \frac{1}{2} }\) dla każdego \(\displaystyle{ n> k.}\)

Rozważając tylko nierówność pierwszą z lewej mamy \(\displaystyle{ 0 < \frac{1}{n}< \sin\left(\frac{2}{n}\right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ n > k.}\)

Ponadto szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} }\) jest rozbieżny, więc na podstawie kryterium porównawczego rozbieżności szeregów, szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{2}{n}\right) }\) jest rozbieżny.

janusz47 pisze: 14 wrz 2024, o 14:33\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}.}\)

Załóżmy, że szereg jest zbieżny.

Wówczas warunek konieczny zbieżności

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{n}\right)}{2n+3}=\lim_{n\to \infty} \cos\left(\frac{1}{n}\right)\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n+3} = 1\cdot 0 = 0 }\) jest spełniony.

Sformułowanie jest nieco bez sensu.

Jeśli założymy, że szereg jest zbieżny (nie mamy do tego żadnych podstaw, ale co nam szkodzi...), to warunek konieczny jest spełniony z automatu, bez jakichkolwiek rachunków.

Natomiast przedstawione rachunki pokazują, że warunek konieczny zbieżności istotnie jest spełniony, co poddaje w wątpliwość sens stwierdzania "Załóżmy, że szereg jest zbieżny"...

JK