Matematyka.pl

Dostałem takie zadanie i nie wiem czy dobrze zrobiłem.
Zbadaj czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \ln(x+\sqrt{1 + x^2}}\)) jest parzysta

Aby funkcja była parzysta: \(\displaystyle{ f(x_{1}) = f(-x_{1})}\)

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}) = \ln(-x_{1}+\sqrt{1 +(-x_{1})^2})}\)

\(\displaystyle{ \ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}) = \ln(-x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}\)

\(\displaystyle{ \frac{\ln(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}{\ln(-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})} = 1 }\)

\(\displaystyle{ \log_{(-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})}(x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})=1}\)

\(\displaystyle{ (-x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}})^{1} = (x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}})}\)

\(\displaystyle{ -x_{1}+\sqrt{1 +x^{2}_{1}} = x_{1}+\sqrt{1 + x^{2}_{1}}}\)

\(\displaystyle{ -x_{1} \neq x_{1}}\)

Odp: funkcja nie jest parzysta

Ps: pierwszy raz używam LaTeX-a, więc mogłem porobić bałagan w równaniach, ale postaram się naprawić

Ło matko! Lubisz sobie poznaczkować?

Przekształcamy równoważnie:

\(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\)

\(\displaystyle{ \ln\left( x+\sqrt{1 + x^{2}}\right) = \ln\left( -x+\sqrt{1 +(-x)^2}\right)}\)

\(\displaystyle{ x+\sqrt{1 + x^{2}} = -x+\sqrt{1 + x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ x = -x}\)

więc nie dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=f(-x)}\). Funkcja nie jest parzysta.

JK

Ale nie popełniłem żadnych błędów podczas przekształcania?

Abbion pisze: 27 paź 2019, o 20:42 Dostałem takie zadanie i nie wiem czy dobrze zrobiłem.
Zbadaj czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \ln(x+\sqrt{1 + x^2})}\)) jest parzysta





Odp: funkcja nie jest parzysta

Ps: pierwszy raz używam LaTeX-a, więc mogłem porobić bałagan w równaniach, ale postaram się naprawić

warto skorzystać z tego że \(\displaystyle{ (x+\sqrt{1 + x^2})(-x+\sqrt{1+x^2})=1}\)

\(\displaystyle{ f(-x) = \ln(-x+\sqrt{1 +(- x)^2})=\ln( \frac{1}{ x+\sqrt{1 +x^2}})=-\ln(x+\sqrt{1 +x^2})=-f(x)}\)

funkcja jest nieparzysta - nawiasem mówiąc nazywa się area sinus hiperboliczny

Warto pamiętać o ustaleniu dziedziny.

Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest parzysta, gdy

\(\displaystyle{ x }\) i \(\displaystyle{ -x \in D_{f} }\) i \(\displaystyle{ f(x) = f(-x), }\)

\(\displaystyle{ D_{f} = ... }\)

Funkcja logarytm naturalny jest funkcją różnowartościową (rosnącą), więc

\(\displaystyle{ f(x) = \ln( x + \sqrt{1 +x^2}) .?.. \ln( -x + \sqrt{1 + (-x)^2}) = f(-x).}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest funkcją ....

Po co ten iloraz porównywany z \(\displaystyle{ 1?}\)

Abbion pisze: 27 paź 2019, o 21:05Ale nie popełniłem żadnych błędów podczas przekształcania?

Poza tym, że potencjalnie podzieliłeś przez zero, to nie.

piasek101 pisze: 27 paź 2019, o 21:14Warto pamiętać o ustaleniu dziedziny.

No tu akurat mamy całe \(\displaystyle{ \RR}\).

JK

Ustalenie dziedziny powinno odbyć się przed wykazywaniem - to miałem na myśli.
Wiele widzieliśmy tu zadań (akurat nie to), gdzie ustalenie dziedziny kończyło wykazywanie.