Wyznacz dziedzinę funkcji

Toleslaw · Post autor: **Toleslaw** » 22 lut 2015, o 19:21

Wyznacz dziedzinę funkcji f, określ jej najmniejszą wartość oraz naszkicuj wykres:

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \lim_{n\to\infty} \left( 1+ x^{2}+ x^{4}+...+ x^{2n} \right)}\)

Jak pozbyć się tej granicy?

Post autor: **Chromosom** » 22 lut 2015, o 19:26

Zastosuj wzór na sumę ciągu geometrycznego.

Xardas666 · Post autor: **Xardas666** » 22 lut 2015, o 19:26

Po pierwsze to zamknij nawias w kodzie. Po drugie to jest to szereg geometryczny. Skorzystaj ze wzoru na sumę częściową szeregu geometrycznego.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 22 lut 2015, o 19:27

Suma nieskończonej ilości wyrazów ciągu geometrycznego jest sumą szeregu geometrycznego i dla \(\displaystyle{ q \in \left( -1;1\right)}\) (to właśnie potrzebne jest do wyznaczenia dziedziny) wynosi \(\displaystyle{ \frac{a _{1} }{1-q}}\)

Toleslaw · Post autor: **Toleslaw** » 22 lut 2015, o 19:51

Tyle to ja wiem, ale właśnie jak wygląda ten ciąg? Jeśli pierwszy wyraz w sumie to 1, oznacza to, że \(\displaystyle{ a_{1}=0}\), czy dobrze mi się wydaje? Jeśli nie, to jak wygląda ten ciąg, jaki jest pierwszy wyraz?

szachimat · Post autor: **szachimat** » 22 lut 2015, o 19:56

Przykład wyjściowy przyrównaj do tej sumy, którą napisałem wcześniej

Toleslaw · Post autor: **Toleslaw** » 23 lut 2015, o 11:34

szachimat, jak to przyrównaj?

Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg o którym mówimy to \(\displaystyle{ 0, 2, 4, \ldots, 2n}\)

Tak czy nie?
Jeśli \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwszym wyrazem, to coś tu nie gra.
Więc jak w końcu wygląda ten ciąg??

szachimat · Post autor: **szachimat** » 23 lut 2015, o 14:31

Toleslaw pisze:szachimat, jak to przyrównaj?

Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg o którym mówimy to \(\displaystyle{ 0, 2, 4, \ldots, 2n}\)

Rzeczywiście widzisz wyrazy ciągu: 0, 2, 4 itd., ale powinieneś też widzieć, że są one dodawane. A ile wyjdzie w wyniku dodawania takiej nieskończonej ich ilości? Ano właśnie limes tego wszystkiego co dodamy to jest pewna funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a _{1} }{1-q}}\). A jej dziedziną jest to co wyjdzie z dwóch warunków: \(\displaystyle{ q>-1}\) i \(\displaystyle{ q<1}\)

AndrzejK · Post autor: **AndrzejK** » 23 lut 2015, o 15:05

Toleslaw pisze: Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg jest funkcją.

Toleslaw · Post autor: **Toleslaw** » 24 lut 2015, o 11:12

AndrzejK pisze:
Toleslaw pisze: Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.
Ciąg jest funkcją.

To prawda ogólnie, chodziło mi o konkretny przypadek w zadaniu.

szachimat · Post autor: **szachimat** » 24 lut 2015, o 12:36

szachimat pisze:
Toleslaw pisze:szachimat, jak to przyrównaj?

Funkcja to funkcja, ciąg to ciąg.

Ciąg o którym mówimy to \(\displaystyle{ 0, 2, 4, \ldots, 2n}\)

Rzeczywiście widzisz wyrazy ciągu: 0, 2, 4 itd., ale powinieneś też widzieć, że są one dodawane. A ile wyjdzie w wyniku dodawania takiej nieskończonej ich ilości? Ano właśnie limes tego wszystkiego co dodamy to jest pewna funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a _{1} }{1-q}}\). A jej dziedziną jest to co wyjdzie z dwóch warunków: \(\displaystyle{ q>-1}\) i \(\displaystyle{ q<1}\)

To w końcu z tego wybrnąłeś?