Matematyka.pl

Witam,

Mam następujący ciąg funkcyjny:
\(\displaystyle{ f_{n}(x) = \frac{\arctg\left( {n^{\frac{1}{4}}x^{2}\right)}}{n^{\frac{3}{2}}}}\).
Teraz określona jest funkcja \(\displaystyle{ S: R \rightarrow R}\):
\(\displaystyle{ S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)}\)
Mam stwierdzić czy tak określona funkcja jest poprawnie określona, tj. że ten szereg funkcyjny jest zbieżny.
Chcę pokazać zbieżność punktową \(\displaystyle{ f_n(x)}\) - czy to wystarczy? Czy odpowiednią metodą na pokazywanie zbieżności szeregu funkcyjnego jest po prostu pokazywanie zbieżności jego wyrazu?
Wtedy punktowo granicą \(\displaystyle{ f_n(x)}\) jest \(\displaystyle{ 0}\), bo \(\displaystyle{ \arctg {}}\) dąży do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), mianownik dąży do \(\displaystyle{ \infty}\), więc całość zawsze do \(\displaystyle{ 0}\).

Kolejna sprawa, jak badać czy S jest różniczkowalna i policzyć jej pochodną w zerze jeśli istnieje? A jak granicę w zerze? Wybrać jakieś otoczenie zera, potem patrzeć czy jest tam różniczkowalna i czy ma granicę?

Do poprawnego określenia funkcji \(\displaystyle{ S}\) wystarczy zbieżność punktowa, ale zbieżność punktowa szeregu, a nie ciągu wyrazów. Zbieżność do zera ciągów wyrazów to warunek konieczny.

Tutaj lepiej skorzystać z oszacowania: \(\displaystyle{ |f_n(x)|\leq \frac \pi 2\frac 1{n^{3/2}}=:a_n}\). Ponieważ szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest zbieżny, mamy od razu zbieżność jednostajną szeregu.

Ponieważ funkcje \(\displaystyle{ f_n}\) są ciągłe, ciągła jest granica \(\displaystyle{ S}\).

Aby zbadać różniczkowalność, należy zbadać zbieżność jednostajną szeregu \(\displaystyle{ P(x)=\sum f_n'(x)}\) i skorzystać z twierdzenia:
jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum f_n}\) jest zbieżny oraz szereg \(\displaystyle{ \sum f_n'(x)}\) jest zbieżny jednostajnie, to \(\displaystyle{ S}\) jest różniczkowalna i \(\displaystyle{ S'=P}\).