Rozwiniecie w szereg Maclaurina

Art511 · Post autor: **Art511** » 13 sty 2007, o 16:01

Wzor na szereg Maclaurina jest nastepujacy:

\(\displaystyle{ f(x)=f(0)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n}\)

Zalozmy, ze mamy rozwinac w szereg Maclaurina funkcje \(\displaystyle{ f(x)=sin x}\)

Liczymy wartosci kolejnych pochodnych i co dalej

Co podstawia sie za n, czy zawsze pod symbolem sumy n=1

Post autor: **bolo** » 13 sty 2007, o 16:23

\(\displaystyle{ f'(x)=\cos x \\ f''(x)=-\sin x \\ f'''(x)=-\cos x \\ f^{(4)}(x)=\sin x \\ f^{(5)}(x)=\cos x \\ f^{(6)}(x)=-\sin x \\ f^{(7)}(x)=-\cos x \\ f^{(8)}(x)=\sin x \\\mbox{itd.} \\ \\ f'(0)=1 \\ f''(0)=0 \\ f'''(0)=-1 \\ f^{(4)}(0)=0 \\ f^{(5)}(0)=1 \\ f^{(6)}(0)=0 \\ f^{(7)}(0)=-1 \\ f^{(8)}(0)=0 \\\mbox{itd.}}\)

Wstawiając to wszystko otrzymujemy:

\(\displaystyle{ f(x)=\sin x=\\=\sin(0)+\frac{f'(0)}{1!}x^{1}+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^{5}+\frac{f^{(6)}(0)}{6!}x^{6}+\frac{f^{(7)}(0)}{7!}x^{7}+\frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^{8}+...=\\=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...=\\=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\)

florek177 · Post autor: **florek177** » 13 sty 2007, o 16:32

\(\displaystyle{ f(0) \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^{2} + ... + \frac{f^{(n-1)} (0)}{( n - 1 )!} x^{n-1}+ ...}\)

Art511 · Post autor: **Art511** » 13 sty 2007, o 18:05

bolo pisze: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\)

Wlasnie tego kroku nie rozumiem, mozesz mi wytlumaczyc skad bierzesz te poszczegolne liczby?

Ar511t pisze:Co podstawia sie za n, czy zawsze pod symbolem sumy n=1

Post autor: **bolo** » 13 sty 2007, o 18:38

Po prostu zapisałem to:

\(\displaystyle{ x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+...}\)

W postaci tego:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\)

Widać, że jak wstawisz za \(\displaystyle{ n}\) kolejno \(\displaystyle{ 1,\,2,\,3,...}\), to otrzymasz powyższe rozwinięcie.