Matematyka.pl

Niech R bedzie promieniem zbieznosci szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}}\). Pokazac ze szeregi
a) \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}na_{n}x^{n}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(n^2+1)a_{n}x^{n}}\)
maja ten sam promien zbieznosci

Z definicji promienia zbieznosci, wychodzi natychmiast.

ja to robilam tak:
jesli R jest promieniem zbieznosci tego szeregu to mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{R}}\) potem jak chce sprawdzic promien szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} na_nx^n}\) to mam \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{na_nx^n} = \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n} \sqrt[n]{a_n}}\) gdzie \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) zmierza do 1 ,a \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{R}}\). tylko tu sie zastanawiam czy iloczyn granic ciagow jest granica iloczynu ciagow? zebym mogla sobie napisac ze skoro \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) zmierza do 1 ,a \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_n}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{R}}\) to ich iloczyn zmierza do \(\displaystyle{ \frac{1}{R}}\)?

Wszystko prawidlowo.