Matematyka.pl

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f: [0; +\infty] \rightarrow \mathbb{R}}\), daną wzorem:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n \sin \frac{x}{n}}{n}}\). Czy istnieje \(\displaystyle{ \lim\limits_{x\rightarrow 0} f(x)}\)? Czy \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna? Jeśli tak, to zbadaj czy \(\displaystyle{ f'(0) > 0}\).

Mam następujące pytania co do tego: Czy istnienie tej granicy to co innego niż istnienie po prostu \(\displaystyle{ f(0)}\)? Gdy wstawimy \(\displaystyle{ x=0}\) do tego szeregu to dostajemy szereg o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n}}\), zbieżny z kryt. Leibniza, czyli ta granica istnieje? Nie rozumiem tu tej różnicy między granicą a wartością w zerze.

I dalej - z czego szukać tej granicy jeśli to nie jest to \(\displaystyle{ f(0)}\)? Jakaś zbieżność punktowa / jednostajna? Pojecia nie mam...
I też pytanie - jak różniczkować wyraz po wyrazie szereg z \(\displaystyle{ (-1)^n}\), traktować to po prostu jako stałą?

Z góry dzięki za pomoc

Musiałbyś pokazać , że funkcja spełnia założenia tw. Wierstrassa . Bo jeśli nie mamy zbieżności jednostajnej to granica nie będzie koniecznie wartością.

piternet pisze:Czy istnienie tej granicy to co innego niż istnienie po prostu \(\displaystyle{ f(0)}\)? Gdy wstawimy \(\displaystyle{ x=0}\) do tego szeregu to dostajemy szereg o wyrazie \(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n}}\), zbieżny z kryt. Leibniza, czyli ta granica istnieje? Nie rozumiem tu tej różnicy między granicą a wartością w zerze.

Wartość \(\displaystyle{ f(0)}\) powstaje, jak mówisz, przez podstawienie \(\displaystyle{ x = 0}\) w tym szeregu (ale wychodzi \(\displaystyle{ 0,}\) a nie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}}\) ).

Wartość \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} f(x)}\) powstaje inaczej: ważne są wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) w małym sąsiedztwie zera, a dokładniej to, czy są coraz bliższe pewnej liczbie \(\displaystyle{ g}\) dla coraz mniejszych sąsiedztw.

Jeśli te dwie wartości są równe, to mówi się, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w zerze. Na pierwszy rzut oka nie jest to oczywiste: wstawienie \(\displaystyle{ x=0}\) zeruje cały szereg, ale skąd wiesz, że wstawienie bardzo małej wielkości \(\displaystyle{ x}\) nie da bardzo dużej sumy?