Matematyka.pl

Funkcję \(\displaystyle{ f:(1,1) \rightarrow R}\) określoną wzorem\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{(1-x) ^{2} }}\)rozwinąć w szereg potęgowe.Wskazówka \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{1-x} \right) '= \frac{1}{(1-x) ^2} }}\)

Bardzo proszę o pomoc

-- 18 kwi 2013, o 08:17 --

Zrobiłem cos takiego :

\(\displaystyle{ ( \sum_{n=0}^{ \infty } x ^{n} )'= \sum_{n=0}^{ \infty } nx ^{n-1}}\)

Co dalej mam z tym zrobić?

Zrobiłeś takie coś - tj. napisałeś równość

\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}}\)

czy ją udowodniłeś? Jeśli dopiero to pierwsze, to tę równość uzasadnij przez powołanie się na twierdzenie o różniczkowaniu szeregów potęgowych wyraz po wyrazie. Sumowanie w prawej sumie zaczyna się od \(\displaystyle{ n=1,}\) bo wyraz dla \(\displaystyle{ n=0}\) po lewej stronie odpowiada stałej, która znika przy różniczkowaniu (więc już nie ma jej po prawej).
Dalej już prosto: skoro

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2} = \left( \frac{1}{1-x} \right)' = \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)',}\)

to ze wzoru na górze wynika, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}.}\)

A ta równość to rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2}}\) w szereg potęgowy - zgodnie z poleceniem.