Matematyka.pl

Witam, mam problem z podejściem do pewnego zadania.
Otóż mam dwie następujące sumy:

\(\displaystyle{ S_{n} = 1 - 3 + 5 - 7 + ... + 101 - 103}\) oraz \(\displaystyle{ P_{n} = 2 - 4 + 8 -16 + ... + 128 - 256}\)

Chcąc obliczyć te sumy, zrobiłem następujące czynności:

1) rozbiłem sumę S na dwa ciągi arytmetyczne, gdzie \(\displaystyle{ a_{1}=1, r=4 ; b_{1}=-3, r'= -4}\), obliczyłem sumy częściowe tych ciągów dla \(\displaystyle{ n=26}\) i je dodałem, wyszło \(\displaystyle{ -52}\)

2) analogicznie uczyniłem z sumą P, gdzie \(\displaystyle{ a_{1}=2, r=6 ; b_{1}=-4, r'=-12}\),
obliczyłem sumy częściowe dla \(\displaystyle{ n=22}\), wyszło \(\displaystyle{ -1430}\)

Jednak drugi wynik mi się nie zgadza z odpowiedziami.

Jest też druga możliwość, w której porządkuję sumy w następujący sposób:

\(\displaystyle{ S_{n}=(1 + 5 + 9 + ... + 101) - (3+7+11+...+103)}\)- mamy różnicę sum częściowych dwóch ciągów or różnicy \(\displaystyle{ r=4}\), wychodzi tak samo jak w podpounkcie 1).

\(\displaystyle{ P_{n}=(2 + 8 +16 +32 + 128) - (4+ 16 + 64 +256)}\)- kolejne wyrazy sumy P zostały potraktowane jako wyrazy ciągu geometrycznego. Wynik łatwo policzyć, wychodzi \(\displaystyle{ -170}\)- jak w odpowiedziach.

Czy ktoś mi wytłumaczy, czemu mój pierwszy sposób, z "rozbijaniem" ciągów się nie zgadza, i dla czego w jednym przypadku określamy ciąg jako arytmetyczny, a w drugim musi być to ciąg geometryczny?

Dziękuję za pomoc

Drugi ciąg nie jest arytmetyczny ani przed rozbiciem (widać to po fragmencie \(\displaystyle{ 2, -4, 8}\)) oraz po rozbiciu (\(\displaystyle{ 2, 8, 32}\) - różnica nie jest stała).