Matematyka.pl

Witam Was,
Znajomy poprosił mnie o zrobienie kilku zadań z matematyki, jednakże niewiele już pamiętam z tych zagadnień, a chciałem mu jakoś pomóc bo sam chłopina nie ma czasu na ich wykonanie. Czy moglibyście mnie odciążyć z kilku zadań? Niestety edukację już mam długo za sobą, a w temacie ciągów arytmetycznych/geometrycznych nie jestem zbyt obeznany, choć z matmą nie miewałem nigdy większych problemów. Nie liczę na to, że zrobicie wszystkie zadania - przynajmniej część z nich, bo ja również mam dzisiaj trochę do zrobienia; pewnie bym się z tym wszystkim nie wyrobił.

Zad. 1 Wyznacz pierwszy, trzeci, czwarty wyraz ciągu określonego wzorem: \(\displaystyle{ a _{n} = 3 - 2 n^{2}}\)
Zad. 2 Oblicz, którym wyrazem ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ 3,7,11,...}\) jest liczba \(\displaystyle{ 67}\).
Zad. 3 Wyznacz pierwszy wyraz, różnicę i wzór ogólny ciągu arytmetycznego , wiedząc że \(\displaystyle{ a _{7} = 9}\) i \(\displaystyle{ a _{12} = 19}\)
Zad. 4 Dla jakiej dodatniej liczby \(\displaystyle{ x}\) liczby \(\displaystyle{ x, 3x, x ^{2}}\) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
Zad. 5 Wyznacz sumę \(\displaystyle{ 50}\) wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \(\displaystyle{ a_{1} = 100}\), \(\displaystyle{ r = -2}\)
Zad. 6 Którym wyrazem ciągu \(\displaystyle{ 5,10,20,...,1280,...}\) jest liczba \(\displaystyle{ 1280}\), jeśli wiadomo, że jest to ciąg geometryczny?
Zad. 7 Wyznacz ciąg geometryczny, w którym \(\displaystyle{ a_{4} = 54}\) i \(\displaystyle{ a_{7} = 1458}\)
Zad. 8 Oblicz sumę \(\displaystyle{ 18}\) wyrazów ciągu geometrycznego, w którym \(\displaystyle{ a _{1} = 9}\), \(\displaystyle{ q=-2}\)

Dziękuję za wszelką pomoc i pozdrawiam serdecznie PS. Sam bym próbował zrobić te zadania, jednak jak już wspomniałem - niewiele pamiętam, a nie chciałbym się pomylić (bo kiedyś też mu robiłem i niestety było kilka błędów )

No cóż, skoro kolega ma czas żeby Ci dać zadania, a nie ma czasu na ich wykonanie, to ktoś tu chyba się kimś wysługuje, nie sądzisz?

Przykro mi, ale jesteśmy tu od pomagania w rozwiązywaniu zadań, a nie od ślepego odrabiania prac domowych za kogoś, komu się nie chce pracować czy nadrabiać zaległości. Większość pomagających na tym forum szanuje swój czas/wiedzę i nie chce być jeleniem na czyichś usługach.

Co do samych zadań - w pierwszym wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ n}\) odpowiednie wartości (czyli dla pierwszego wyrazu \(\displaystyle{ n=1}\) itd.), natomiast w ciągu arytmetycznym są 2 główne wzory z których możesz skorzystać w zadaniach 2-4 :

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego : \(\displaystyle{ a_{n} = a_{1} + (n-1)\cdot r}\)

Średnia arytmetyczna : \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}\)

W razie problemów - napisz co zrobiłeś, gdzie się zatrzymujesz, w którym dokładnie miejscu ten problem się pojawia.

Poniekąd o to mi chodzi, żeby jakieś podpowiedzi dostać. Ok, zrobię i prześlę, może mi się uda wszystko dziś ogarnąć (w co wątpię, bo serio niewiele mam czasu). Nie napisałem, że to kolega tylko znajomy (konkretnie ojca pracownik, który ostatnio non stop siedzi w pracy i nie ma kiedy tego zrobić, a w jego przypadku ciężko godzić pracę ze szkoła - duży nakład w pracy ma). Pozdrawiam

stoq1991, a ja się lekko wyłamię i zrobię za Ciebie zadanie 1.

Wzór na \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu to \(\displaystyle{ a_n= 3-2n^2}\)

Zatem pierwszy wyraz to:

\(\displaystyle{ a_1= 3 - 2 \cdot 1^2 = 1}\)

Drugi wyraz to:

\(\displaystyle{ a_2= 3 - 2 \cdot 2^2= -5}\)

Trzeci wyraz to:

\(\displaystyle{ a_3 = 3 - 2 \cdot 3^2 = -15}\)

Czwarty wyraz to:

\(\displaystyle{ a_4 = 3 - 2 \cdot 4^2 = -29}\)

Dziękuję, ale akurat już zrobiłem część zadań, nie wiem tylko jak zrobić czwarte, resztę pamiętam jeszcze

W czwartym wykorzystaj prostą zależność na średnią arytmetyczną - środkowy wyraz ciągu jest średnią pierwszego i trzeciego.

Rozwiązanie zadań
Zad. 1 Wyszło mi identycznie jak osobie powyżej
Zad. 2
Ciąg \(\displaystyle{ 3,7,1...67,}\)
\(\displaystyle{ r=4,}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=67}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=3,}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=7,}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=11}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1) \cdot r}\)
\(\displaystyle{ 67=3+4(n-1)}\)
\(\displaystyle{ 4(n-1)=64/4}\)
\(\displaystyle{ n=17}\)
\(\displaystyle{ a_{17}=67}\)
Zad. 3
\(\displaystyle{ a^{7}=9}\)
\(\displaystyle{ a^{12} =19}\)
a) Pierwszy wyraz
b) Różnica
c) Wzór ogólny
Ad a)
\(\displaystyle{ a_{7}=a_{1}+6r}\)
\(\displaystyle{ 9=a_{1}+6 \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=9-12=-3}\) odpowiedź.
Ad b)
\(\displaystyle{ a_{12}=a_{7}+5r}\)
\(\displaystyle{ 19=9+5r}\)
\(\displaystyle{ 5r=19-9}\)
\(\displaystyle{ 5r=10/5}\)
\(\displaystyle{ r=2}\) - odpowiedź.
Ad c)
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)r}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=-3+(n-1)2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=-3+2_{n}-2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=2_{n}-5}\) - odpowiedź.
Zad. 4
Ciąg \(\displaystyle{ x,3x,x^2}\)
Zadanie zrobiłem za pośrednictwem tego wzoru: b-a=c-b (podstawiając pod \(\displaystyle{ a_{1}}\) itd.)
\(\displaystyle{ 3x-x=x^2-3x}\)
\(\displaystyle{ 2x=x^2-3x}\)
\(\displaystyle{ 2x+3x=x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2=5x}\)
\(\displaystyle{ x=5}\) - odpowiedź.
Zad. 5
\(\displaystyle{ a_{1}=100}\)
\(\displaystyle{ r=-2}\)
\(\displaystyle{ n=50}\)
\(\displaystyle{ a_{50}=100+(50-1) \cdot (-2)=100-98=2}\)
\(\displaystyle{ S_{50}=100+ \frac{2}{2} \cdot 50=100+1 \cdot 50=150}\) - odpowiedź.
Zad. 6
Ciąg \(\displaystyle{ 5,10,20...1280}\)
\(\displaystyle{ q= \frac{10}{5}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=5}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1} \cdot q ^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ 5 \cdot 2^{n-1}=1280}\)
\(\displaystyle{ 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^{n}=1280/:2,5}\)
\(\displaystyle{ 2^{n}=512}\)
\(\displaystyle{ 2^{n}=2^9}\)
\(\displaystyle{ n=9}\) - odpowiedź.
Zad. 7
\(\displaystyle{ a_{4}=54}\)
\(\displaystyle{ a_{7}=1485}\)
\(\displaystyle{ a_{4}=a_{1} \cdot q^3=54}\)
\(\displaystyle{ a_{7}=a_{1} \cdot q^6=1458}\)
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot q^3=54}\)
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot q^6=1458}\)
\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{54}{q^3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{54}{q^3} \cdot q^6=1458}\)
\(\displaystyle{ 54 \cdot q^3=1458/:54}\)
\(\displaystyle{ q^3=27}\)
\(\displaystyle{ q=3}\)
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot (3)^3=54}\)
\(\displaystyle{ a_{1} \cdot 27=54/:27}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=2 \cdot (3)^{n-1}}\) - odpowiedź.
Zad. 8
\(\displaystyle{ a_{1}=9}\)
\(\displaystyle{ q=-2}\)
\(\displaystyle{ n=18}\)
\(\displaystyle{ S_{n}=a_{1} \cdot \frac{1-q^n}{1-q}}\)
\(\displaystyle{ S_{18}=9 \cdot \frac{1-(-2)^{18}}{1-(-2)} = 9- \frac{-262143}{3} = -786429}\)
\(\displaystyle{ S_{18}=-786429}\) -odpowiedź.


Poprosiłbym o przeanalizowanie i sprawdzenie. Pozdrawiam

Zadanie 4.

Ciąg arytmetyczny charakteryzuje się tym, że:

\(\displaystyle{ a_n = \frac{a_{n-1}+ a_{n+1}}{2}}\)

Wstaw teraz co gdzie trzeba i będzie gotowe : ) U Ciebie \(\displaystyle{ a_1=x , a_2=3x , a_3=x^2}\).

Zad. 4
Ciąg \(\displaystyle{ x,3x,x^2}\)
Zadanie zrobiłem za pośrednictwem tego wzoru: \(\displaystyle{ b-a=c-b}\) (podstawiając pod \(\displaystyle{ a_{1}}\) itd.)
\(\displaystyle{ 3x-x=x^2-3x}\)
\(\displaystyle{ 2x=x^2-3x}\)
\(\displaystyle{ 2x+3x=x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2=5x}\)
\(\displaystyle{ x=5}\) - odpowiedź.

Dziękuje za pomoc, jednak prosiłbym o przeanalizowanie jeszcze reszty zadań (bo mam wątpliwości co do 6,7,8)

Zadanie 6 jest ok. Można zrobić to na palcach:

\(\displaystyle{ a_1=5 \\ a_2=10 \\a_3=20 \\ a_4=40 \\ a_5=80 \\ a_6=160 \\ a_7=320 \\ a_8=640 \\ a_9= 1280}\)-- 5 lis 2014, o 16:17 --Zadanie 7 coś pokręciłeś, bo \(\displaystyle{ 3^3=27}\) a nie \(\displaystyle{ 9}\) : )

Jestem nieogarem i dalej czwartego zadania nie mogę skumać, mimo, że podstawiam już na wszystkie możliwe sposoby do Waszego wzoru. Nie jestem pewny czy tym sposobem też może być, tak żeby jego nauczycielka nie robiła problemów.

stoq1991, przecież zrobiłeś już czwarte zadanie. Z czym problem ? Wskazałeś odpowiedniego iksa i tyle : )

Od siebie jedynie bym dodał, że dzielenie przez iksa obustronnie musi być zawsze uzasadnione. W tym wypadku było bo szukaliśmy dodatniego rozwiązania. Jednak dzieląc w ten sposób czasem coś cennego można stracić. Lepiej zapisywać takie równości za pomocą postaci iloczynowej.