Matematyka.pl

Jak wyznaczyć trzy początkowe wyrazu ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) określonego wzorem:

\(\displaystyle{ a_{n}=1^2+2^2+...+n^2}\)

Podstawić i policzyć

Niech \(\displaystyle{ S_n= \sum_{k=1}^{n}k^3}\), mamy
\(\displaystyle{ S_{n+1}=S_n+(n+1)^3= \sum_{k=1}^{n+1}k^3= \sum_{k=0}^{n}(k+1)^3=\\= \sum_{k=0}^{n}k^3+3 \sum_{k=0}^{n}k^2+3 \sum_{k=0}^{n}k+ \sum_{k=0}^{n}1}\)
czyli
\(\displaystyle{ S_n+(n+1)^3=S_n+3 \sum_{k=0}^{n}k^2+3 \sum_{k=0}^{n}k+ \sum_{k=0}^{n}1}\),
a więc \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k^2=\frac 1 3\left((n+1)^3- 3 \sum_{k=0}^{n}k-\sum_{k=0}^{n}1\right)}\)
Ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego mamy \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k= \frac{n(n+1)}{2}}\), a ponadto oczywiście jest \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}1=n+1}\).
Ostatecznie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k^2= \sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+\dots+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)
i wystarczy wstawić \(\displaystyle{ n=1, n=2, n=3}\). Oczywiście to rozwiązanie to są żarty, na pałę podstawiasz I DO WIDZENIA.
Np. \(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2=14}\)

Nie rozumiem. Te 3 kropeczki nie reprezentują jakiegoś logicznego ciągu liczb?

\(\displaystyle{ a _{1}=1^2+2^2+...+1^2?}\)

Ten zapis z trzema kropeczkami jest w ogóle idiotyczny, w szkole pojawia się chyba dlatego, że uznano, iż część ludzi nie poradzi sobie z notacją sigmy. ( )
Chodzi tu o ciąg zdefiniowany rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=1^2 \\ a_{n+1}=a_n+(n+1)^2 \text{ dla }n \ge 1 \end{cases}}\)
czyli trzy pierwsze wyrazy to
\(\displaystyle{ a_1=1^2,a_2= 1^2+2^2,a_3= 1^2+2^2+3^2}\)-- 15 mar 2017, o 12:23 --Inaczej zapisując, tak jak to wyżej zrobiłem, chodzi o \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2}\)
Na dole masz indeks, od którego zaczynamy sumowanie a na górze indeks, na którym kończymy sumowanie, np. \(\displaystyle{ \sum_{k=3}^{7}k^2=3^2+4^2+5^2+6^2+7^2}\).
Dla mnie taka notacja jest najwygodniejsza.

Heh, pierwszy raz użyję tego znaku, więc jeśli dobrze rozumiem to:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{1}n^2=1^2 \\
\sum_{n=1}^{2}n^2=1^2+2^2 \\
\sum_{n=1}^{3}n^2=1^2+2^2+3^2}\)

Czy zapis z trzema kropeczkami ma jakiś sens?
Skoro mamy 3 kropeczki to czy taki ciąg nie sumuje się w nieskończoność, kiedy nie ma logicznego zakończenia (możliwe, że nie widzę takiego logicznego zakończenia, a ono istnieje)?

Tak, dobrze rozumiesz ten zapis z sigmą.
Zapis z trzema kropeczkami ma sens, ale jest nieformalny. No i np. dla małych \(\displaystyle{ n}\) nie powinno się tak tego zapisywać:
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+\dots+n^2}\), bo dla \(\displaystyle{ n=1}\) oraz \(\displaystyle{ n=2}\) np. ten zapis może prowadzić do zamieszania. Tzn. dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\) można spokojnie zapisać
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+\dots+n^2}\), a dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) można napisać \(\displaystyle{ a_n=1^2+\dots+n^2}\). Może przesadziłem z tym, że jest idiotyczny, ale właśnie nieścisły, nieformalny. Nie rozumiem też, co dla Ciebie jest "logicznym zakończeniem".

Nie chodziło mi o logiczne zakończenie (pomyłka), tylko to, co może znajdować się między kropkami i drogą dedukcji możemy wywnioskować, np.:

\(\displaystyle{ 1+2+3+4+5+...+100}\)