Własność sumy ciągu arytmetycznego pod warunkiem

poetaopole · Post autor: **poetaopole** » 14 maja 2017, o 07:53

Wykaż, że jeżeli dla dowolnego ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ \left( a_{n} \right)}\) spełniony jest warunek: \(\displaystyle{ \frac{ S_{n+1} }{S _{n} }= \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2}}\), to \(\displaystyle{ \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } = \frac{2n+1}{2n-1}}\).

kerajs · Post autor: **kerajs** » 14 maja 2017, o 08:34

Przekształcę podany warunek
\(\displaystyle{ \frac{ S_{n+1} }{S _{n} }= \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2}}\),
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a_1+a_{n+1}}{2} \cdot (n+1) }{\frac{a_1+a_{n}}{2} \cdot n}= \left( \frac{n+1}{n} \right) ^{2}\\
\frac{ (a_1+a_{n+1}) \cdot (n+1) }{(a_1+a_n) \cdot n}= \frac{(n+1)^2}{n^2}\\
\frac{ a_1+a_{n+1} }{a_1+a_n}= \frac{n+1}{n}\\
\frac{ a_1+a_{n}+r }{a_1+a_n}= 1+ \frac{1}{n}\\
1+ \frac{ r}{a_1+a_n}=1+ \frac{1}{n}\\
nr=a_1+a_1+(n-1)r\\
r=2a_1}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } = \frac{a_1+nr}{a_1+(n-1)r} =....}\).

poetaopole · Post autor: **poetaopole** » 14 maja 2017, o 09:28

Śliczne rozwiązanie! Takie na 2 gwiazdki

Matematyka.pl