Matematyka.pl

Wyraz pierwszy i iloraz ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ (a_n)}\) są odpowiednio równe 1 i \(\displaystyle{ k^2-4}\). zbadaj, dla jakich wartości parametru k ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ b_n=log^2a_{n+1}-log^2a_n}\) jest ciągiem arytmetycznym.

Doliczyłem się do tego, że logarytm kwadratowy z \(\displaystyle{ a_n}\) to jest \(\displaystyle{ (n-1)^2log^2(k^2-4)}\), a z \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) \(\displaystyle{ n^2 log^2(k^2-4)}\) czyli \(\displaystyle{ b_n=(2n-1)log^2(k^2-4)}\). Czy teraz wystarczy, że odejmę \(\displaystyle{ b_{n+1}-b_n}\) i sprawdzę, dla jakich k takie coś zajdzie czy muszę brać trzy wyrazy i sprawdzać, czy środkowy jest średnią sąsiednich?

Rachunków nie sprawdzałam, ale

Roaster pisze:Czy teraz wystarczy, że odejmę \(\displaystyle{ b_{n+1}-b_n}\) i sprawdzę, dla jakich k takie coś zajdzie

to wystarczy

Dziękuję, ale przecież odejmując je od siebie dostajemy po prostu \(\displaystyle{ 2log^2(k^2-4)}\). Do czego mam to przyrównać, skoro r jest mi tutaj nieznane?

Trochę inaczej wyszło mi \(\displaystyle{ b_n}\)
\(\displaystyle{ b_n=(2n+1)log^2(k^2-4)}\)

\(\displaystyle{ r=2log^2(k^2-4)}\)

Wydaje mi się, że wystarczy policzyć dla jakiego \(\displaystyle{ k}\) to wyrażenie ma sens, czyli
\(\displaystyle{ k^2-4>0}\)

Hmm.. \(\displaystyle{ n^2 log^2(k^2-4)-(n-1)^2log^2(k^2-4)=(n^2-n^2+2n-1)log^2(k^2-4)=}\)\(\displaystyle{ (2n-1)log^2(k^2-4)}\). Tak mi się przynajmniej wydaje..

OK, dzięki

Ja liczyłam \(\displaystyle{ b_{n+1}-b_n}\)

Może to i głupie pytanie, ale nie rozumiem jednej sprawy. Dlaczego przed logarytmami jest \(\displaystyle{ n^{2}}\) a nie n i \(\displaystyle{ (n-1) ^{2}}\) a nie (n-2)?