Matematyka.pl

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x}\) naleźącego do jej dziedziny równanie:

\(\displaystyle{ 1 + f(x) + (f(x))^{2} + (f(x))^{3} + ... = \frac{x}{2} + 1}\),

gdzie lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. Wyznacz dziedzinę i wzór funkcji f. Naszkicuj jej wykres.

\(\displaystyle{ q = f(x)}\) \(\displaystyle{ , gdzie}\) \(\displaystyle{ |f(x)| < 1}\)

\(\displaystyle{ S}\)- suma nieskończonego ciągu geometrycznego
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{1-f(x)}}\)

Rozwiązując równanie: \(\displaystyle{ \frac{1}{1-f(x)} = \frac{x}{2} + 1}\)
otrzymałem, że: \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{3}}\).
Dziedzina funkcji: \(\displaystyle{ | \frac{x}{3}|<1 \Rightarrow x \in (-3,3)}\).
Z wykresem nie ma żadnych problemów. Czy to poprawne rozwiązanie?

Mi wyszło : \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{x+2}}\)
\(\displaystyle{ ZW_f=(-1, 1)
D_f=(-1, + \infty )}\)

Idea autora jest ok, aczkolwiek rachunki być może są niepoprawne, a nie chce mi się ich przeliczac, można to zrobic w wolframalpha

a można by to zrobić inaczej żeby nie było oddzielnie wykluczanej dziedziny mianowicie funkcja
\(\displaystyle{ \sqrt{-x} + \sqrt{x}}\) macie możne więcej takich funkcji ?? bo w sumie wykluczając odzienie dziedzinę mogę napisać dowolny wzór i wykluczyć np wszystko prócz miejsc zerowych itp