Oblicz ilość pieniędzy w banku po latach. Zadanie tekstow
-
MiRas
Oblicz ilość pieniędzy w banku po latach. Zadanie tekstow
Ktoś zaczął palić papierosy po ukończeniu 18 lat i od tej pory na papierosy wydawał średnio po 70 złotych miesięcznie. Jeśli roczny wydatek wpłacałby do banku w końcu każdego roku to jaką sumę zaoszczęciłby z końcem 60 roku życia? Zakładamy, że oprocentowanie wynosi 6%, a kapitalizacja jest co rok.
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1627
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Oblicz ilość pieniędzy w banku po latach. Zadanie tekstow
Mam conieco, ale to dziwne się wydaje ...
Skoro to ma być do 60 roku życia to dokona on wpłaty 43 razy. Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzię ciągiem, którego wyrazy są kasą w banku ktosia, gdy dokonuje on wpłaty pod koniec roku. Wiemy, że co roku wartość ta wzrasta o 6%. Niech q=106%.
Wtedy:
\(\displaystyle{ a_1=840}\)
\(\displaystyle{ a_2=a_1+q\cdot a_1}\)
\(\displaystyle{ a_3=a_1+q\cdot a_2=a_1+q(a_1+q\cdot a_1)=a_1+q\cdot a_1+q^2\cdot a_1}\)
...
\(\displaystyle{ a_n=a_1+q\cdot a_{n-1}}\)
Niech \(\displaystyle{ S_n}\) będzie sumą n początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\).
\(\displaystyle{ S_1=a_1}\)
\(\displaystyle{ S_2=2a_1+q\cdot a_1}\)
\(\displaystyle{ S_3=3a_1+q(2a_1+q\cdot a_1)=3a_1+2q\cdot a_1+q^2\cdot a_1)}\)
\(\displaystyle{ S_4=4a_1+q(3a_1+q(2a_1+q\cdot a_1))=4a_1+3q\cdot a_1+2q^2\cdot a_1+q^3\cdot a_1}\)
Można zauważyć pewną prawidłowość:
\(\displaystyle{ S_n=na_1+(n-1)q\cdot a_1+(n-1)q^2\cdot a_1+...+q\cdot a_1}\)
Zauważ, że jest to suma n ciągów geometrycznych o ilczynie q. Wystarczy wyprowadzić wzór ogólny na \(\displaystyle{ S_n}\) korzystając m.in. ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego. Mając wzór ogólny podstawiasz za n=43 i \(\displaystyle{ a_1=840}\).
Chyba tak to powinno wyglądać ...
Skoro to ma być do 60 roku życia to dokona on wpłaty 43 razy. Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzię ciągiem, którego wyrazy są kasą w banku ktosia, gdy dokonuje on wpłaty pod koniec roku. Wiemy, że co roku wartość ta wzrasta o 6%. Niech q=106%.
Wtedy:
\(\displaystyle{ a_1=840}\)
\(\displaystyle{ a_2=a_1+q\cdot a_1}\)
\(\displaystyle{ a_3=a_1+q\cdot a_2=a_1+q(a_1+q\cdot a_1)=a_1+q\cdot a_1+q^2\cdot a_1}\)
...
\(\displaystyle{ a_n=a_1+q\cdot a_{n-1}}\)
Niech \(\displaystyle{ S_n}\) będzie sumą n początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\).
\(\displaystyle{ S_1=a_1}\)
\(\displaystyle{ S_2=2a_1+q\cdot a_1}\)
\(\displaystyle{ S_3=3a_1+q(2a_1+q\cdot a_1)=3a_1+2q\cdot a_1+q^2\cdot a_1)}\)
\(\displaystyle{ S_4=4a_1+q(3a_1+q(2a_1+q\cdot a_1))=4a_1+3q\cdot a_1+2q^2\cdot a_1+q^3\cdot a_1}\)
Można zauważyć pewną prawidłowość:
\(\displaystyle{ S_n=na_1+(n-1)q\cdot a_1+(n-1)q^2\cdot a_1+...+q\cdot a_1}\)
Zauważ, że jest to suma n ciągów geometrycznych o ilczynie q. Wystarczy wyprowadzić wzór ogólny na \(\displaystyle{ S_n}\) korzystając m.in. ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego. Mając wzór ogólny podstawiasz za n=43 i \(\displaystyle{ a_1=840}\).
Chyba tak to powinno wyglądać ...
