Matematyka.pl

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi \(\displaystyle{ 6}\), a suma \(\displaystyle{ S}\) wszystkich wyrazów jest równa \(\displaystyle{ \frac{16}{3}}\). Dla jakich naturalnych \(\displaystyle{ n}\) spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ \left | S-S_{n}\right| < \frac{1}{96}}\)?

Po wykonaniu obliczeń okazuje się, że:
\(\displaystyle{ a_{1}=8, q= -\frac{1}{2}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{16}{3} \left( 1- \left( - \frac{1}{2} \right) ^{n} \right)}\)
Stąd też widać, że dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych nie uda nam się zbliżyć na zadaną odległość do \(\displaystyle{ S}\). Odpowiedź natomiast brzmi: dla \(\displaystyle{ n >9}\). Gdzie popełniam błąd?

witia1990 pisze:Stąd też widać, że dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych nie uda nam się zbliżyć na zadaną odległość do \(\displaystyle{ S}\).

A dlaczego? Ja tego nie widzę.

JK

Wydaje mi się, że dla n parzystych:
\(\displaystyle{ 1- \left( -\frac{1}{2} \right) ^{n} < 1}\)

A zatem:
\(\displaystyle{ \frac{16}{3} \left( 1- \left( -\frac{1}{2} \right) ^{n} \right) < \frac{16}{3}}\)

Stąd dla n parzystych:
\(\displaystyle{ |S_{n}-S| > \frac{2}{3}}\)

Chyba, że gdzieś popełniam błąd?

witia1990 pisze:Stąd dla n parzystych:
\(\displaystyle{ |S_{n}-S| > \frac{2}{3}}\)

Ale dlaczego? Wyznacz najpierw \(\displaystyle{ |S_{n}-S|}\), bez żadnych przypadków.

JK