Matematyka.pl

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ \left( \frac{3-p}{3+p} \right) ^{2n-3}}\)
Wyznacz te wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) , dla których ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący.
Mam już obliczony iloraz \(\displaystyle{ q= \left( \frac{3-p}{3+p} \right) ^{2}}\) z podpunktu a gdzie trzeba było udowodnić że ciąg jest geometryczny.
Gdzie bym nie spojrzał w internecie to ten podpunkt każdy rozwiązuje odejmując \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) od \(\displaystyle{ a_n}\) ale przecież tak się robi w ciągu arytmetycznym, z tego co wiem to jest nie poprawne bo w geometrycznym sie rozpatruje rozne przypadki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ q}\). Stąd moje pytanie jak obliczyć monotoniczność w ciągu geometrycznym? Jakby mógł mi ktoś pokazać to na przykładzie tego zadania to będę wdzięczny

Besiege pisze:Gdzie bym nie spojrzał w internecie to ten podpunkt każdy rozwiązuje odejmując \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) od \(\displaystyle{ a_n}\) ale przecież tak się robi w ciągu arytmetycznym

Tak można robić w dowolnym ciągu, niekoniecznie arytmetycznym, ale nie zawsze jest to efektywne.

W ciągu geometrycznym sprawa jest prosta. Jeśli \(\displaystyle{ q>1}\), to ciąg jest rosnący, jeśli \(\displaystyle{ 0<q<1}\) to jest malejący, zaś jeśli \(\displaystyle{ q<0}\) to nie jest monotoniczny, bo jest naprzemienny. Jeśli \(\displaystyle{ q=1}\) to oczywiście jest stały.

JK

edit. Jak słusznie zwrócił mi uwagę kerajs, powyższe jest prawdą dla \(\displaystyle{ a_1>0}\). Dla \(\displaystyle{ a_1<0}\) jest odwrotnie - ciąg jest malejący dla \(\displaystyle{ q>1}\) oraz rosnący dla \(\displaystyle{ 0<q<1}\).