Oto zadanie:
"Liczby \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ x _{2}}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x ^{2} -3x+A=0}\) , a liczby \(\displaystyle{ x _{3}}\) i \(\displaystyle{ x _{4}}\) pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x ^{2}-12x+B=0}\) . Wiadomo, że liczby \(\displaystyle{ x _{1} , x _{2} , x _{3} , x _{4}}\) tworzą ciąg geometryczny. Znajdź \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) .
Korzystam ze wzorów Viete'a, aby zminimalizować liczbę niewiadomych do dwóch: \(\displaystyle{ x _{1}}\) i \(\displaystyle{ q}\) , następnie otrzymane równania sprowadzam do postaci wielomianowej, znajduję pierwiastek wymierny i dzielę przez niego wielomian, żeby znaleźć pozostałe pierwiastki (ten pierwszy odpada, bo prowadzi do sprzeczności), i rozpatruję 2 przypadki. Ogólnie na 4 wyniki liczbowe 3 mam dobrze, a czwarty jest po prostu inny niż w podręczniku. Nie mogę zlokalizować błędu, chyba że znajduje się on po prostu w odpowiedziach. A teraz mniej pisania, a więcej liczenia:
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{1}q= \frac{-b}{a} \Leftrightarrow x _{1}+x _{1}q=3 \wedge x _{1}q ^{2}+x _{1}q ^{3}=12 \\
(1+q)x _{1}=3 \wedge (q ^{2}+q ^{3})x _{1}=12 \\
q ^{3}+q ^{2} -4q-4=0}\)
Z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wynika, że:
\(\displaystyle{ q _{1} = -1}\) . Sprawdzam, czy wielomian posiada inne pierwiastki; w tym celu dzielę go przez dwumian będący miejscem zerowym i otrzymuję wielomian:
\(\displaystyle{ P(q)=q ^{2}-4}\) , a więc jasno i klarownie posiadam wyliczone wszystkie możliwe ilorazy ciągu: \(\displaystyle{ q \in \{-2, -1, 2\}}\) .
Teraz wyliczam kolejne wyrazy ciągu i wychodzi mi:
1. \(\displaystyle{ A=2,\ B=32}\)
2. \(\displaystyle{ A=-18\, B=-288}\)
W odpowiedziach jest:
1. \(\displaystyle{ A=2,\ B=32}\)
2. \(\displaystyle{ A=-18\, B=-972}\)
Nie wiem, może obrałem złą metodę? Proszę o pomoc.
