Gdzie popełniam błąd?

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Xiaos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 25 paź 2016, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Gdzie popełniam błąd?

Post autor: Xiaos »

Mamy ciąg arytmetyczny

\(\displaystyle{ a_1 = 3}\)

\(\displaystyle{ r = 2}\)

Oblicz ile wyrazów \(\displaystyle{ a_n}\) spełnia \(\displaystyle{ a^2_{n+8} + 149 < 118a_n}\)

Zauważam, że \(\displaystyle{ a^2_{n+8}}\) jest tym samym co \(\displaystyle{ (a_n + 8 \cdot r)^2}\)

Przykład
Ukryta treść:    
Przekształcając: \(\displaystyle{ a^2_{n+8} + 149 < 118a_n}\)

zamiast \(\displaystyle{ a_n}\) użyje \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ (x + 8 \cdot 2)^2 + 149 < 118x}\)

\(\displaystyle{ (x + 16)^2 + 149 < 118x}\)

\(\displaystyle{ x^2 + 32x + 256 + 149 < 118x}\)

\(\displaystyle{ x^2 + 32x + 256 + 149 - 118x < 0}\)

\(\displaystyle{ x^2 -86x + 405< 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 7396 - 4 \cdot 405= 5776}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{5776} = 76}\)

\(\displaystyle{ x_1 = \frac{86+76}{2}= 81}\)

\(\displaystyle{ x_2 = \frac{86-76}{2} = 5}\)

Oczywiście mając w pamięci, że wyrazy muszą być całkowite, to i tak wyniki są dalekie od poprawnych, gdyż przedział \(\displaystyle{ a_n}\) spełniających te nierówność jest \(\displaystyle{ \left\langle 3;40 \right\rangle}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2017, o 18:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 5 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15496
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5224 razy

Gdzie popełniam błąd?

Post autor: Premislav »

W treści zadania różnica jest równa \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ 3}\).
Pomyliłeś najwyraźniej \(\displaystyle{ a_1}\) z \(\displaystyle{ r}\).
Xiaos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 25 paź 2016, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Gdzie popełniam błąd?

Post autor: Xiaos »

Premislav pisze:W treści zadania różnica jest równa \(\displaystyle{ 2}\), a nie \(\displaystyle{ 3}\).
Pomyliłeś najwyraźniej \(\displaystyle{ a_1}\) z \(\displaystyle{ r}\).
Faktycznie! Lecz niestety wyniki nadal wydają się być złe, a ja nadal nie potrafię znaleźć tutaj błędu.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15496
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5224 razy

Gdzie popełniam błąd?

Post autor: Premislav »

Do tego miejsca:
\(\displaystyle{ x^2 -86x + 405< 0}\)
jest w porządku. Sorry, ale nie lubię dużych liczb, można sprawdzić na wolframalpha.com:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=s
... %2B405%3C0

Czyli to też wygląda dobrze.
Skoro \(\displaystyle{ a_1=3, r=2}\), to \(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)r=3+2(n-1)=2n+1}\)
i wystarczy, że policzysz, dla ilu \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) zachodzą obie nierówności:
\(\displaystyle{ 2n+1>5\\2n+1<81}\)
Jak dla mnie jest \(\displaystyle{ 37}\) takich liczb. Nie wiem, co to za wielkie liczby dalej się u Ciebie pojawiają.
Xiaos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 25 paź 2016, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Gdzie popełniam błąd?

Post autor: Xiaos »

Premislav pisze: dla ilu \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) zachodzą obie nierówności:
\(\displaystyle{ 2n+1>5\\2n+1<81}\)
Jak dla mnie jest \(\displaystyle{ 37}\) takich liczb.
Wow... Ciekawe

Niemniej jednak, masz rację. Jest ich 37.

Dziękuję
ODPOWIEDZ