Udowodnij:
Ciąg jest zarówno arytmetyczny i geometryczny, wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągiem stałym.
Dowód
-
marian
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 31 paź 2004, o 16:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 5 razy
Dowód
geometryczny
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}q^{n-1}}\)
staly jest dla q=1 wiec \(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}}\)
arytmetyczny
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)r}\)
staly jest dla r=0
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}}\)
dla takich samych wartosci \(\displaystyle{ a_{1}}\) ciagi beda si pokrywaly...
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}q^{n-1}}\)
staly jest dla q=1 wiec \(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}}\)
arytmetyczny
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)r}\)
staly jest dla r=0
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}}\)
dla takich samych wartosci \(\displaystyle{ a_{1}}\) ciagi beda si pokrywaly...
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2879
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Dowód
\(\displaystyle{ \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}}\).
Wiemy, że równość w nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_1=a_2=\ldots =a_n}\), co kończy dowód. (Wyrazy 'pomiędzy' \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) a \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) wyraź sobie korzystając z własności ciągu arytmetycznego np.).
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki
Wiemy, że równość w nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną a geometryczną zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_1=a_2=\ldots =a_n}\), co kończy dowód. (Wyrazy 'pomiędzy' \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) a \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) wyraź sobie korzystając z własności ciągu arytmetycznego np.).
Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki