Matematyka.pl

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a>0 \wedge a \neq 1}\) oraz \(\displaystyle{ x>0 \wedge x \neq 1}\) to równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log _{a}x } + \frac{1}{\log ^{2} _{a}x } + \frac{1}{\log ^{3} _{a}x } + ... + \frac{1}{\log ^{100} _{a}x } = \frac{5050}{\log _{a}x }}\)
jest prawdziwe.

Zauważ, że po lewej stronie masz sumę \(\displaystyle{ 100}\) wyrazów ciągu geometrycznego
o ilorazie \(\displaystyle{ \frac{1}{\log_a x}}\)
Zastosuj wzór na sumę i potem działaj.

No dobra. Dla skrótu będę pisał samo log.
\(\displaystyle{ S= \frac{1- \frac{1}{\log ^{100} } }{1- \frac{1}{\log }} \cdot \frac{1}{\log } = \frac{ \frac{\log ^{100}-1}{\log ^{100} } }{ \frac{\log -1}{\log } } \cdot \frac{1}{\log }= \frac{\log ^{100}-1 }{\log ^{101}-\log ^{100} }}\)
nie wiem czy dobrze i nie wiem co dalej.

Teraz widzę, że coś nie tak z treścią zadania. Weźmy \(\displaystyle{ a=x=2}\)
i mamy po lewej stronie tezy
\(\displaystyle{ \underbrace{1+\dots+1}_{100}=100}\)
a po prawej stronie \(\displaystyle{ 5050.}\) Na pewno dobrze to przepisałeś?

Raczej tak pewności nie mam. Dziś rano sprawdzę jak mają zapisane w klasie.-- 19 cze 2017, o 10:21 --Tak jest dobrze napisane.

Pomyślałem sobie, że może wygodniej będzie, jeżeli
zauważymy, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log_a x} =\log_x a}\) - wynika to natychmiast ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu. Poza tym warto zauważyć, że \(\displaystyle{ 1+2+\dots+100=5050}\) ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego. Ja myślę, że jednak trochę źle przepisałeś lub trochę źle ten napis interpretujemy, ale jestem dosyć spostrzegawczy, więc wymyśliłem już, jak to miało być. Mianowicie powinno być tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log _{a}x } + \frac{1}{\log _{a^2}x } + \frac{1}{\log _{a^3}x } + ... + \frac{1}{\log _{a^{100}}x } = \frac{5050}{\log _{a}x }}\)
tj. potęgi mają dotyczyć podstawy logarytmu, a nie całego wyrażenia, tj. nie chodzi o \(\displaystyle{ (\log_a x)^2}\) itd.
No to teraz właśnie zauważmy, że
\(\displaystyle{ \frac{1}{\log_a b} =\log_b a}\) dla \(\displaystyle{ a,b>0, a, b \neq 1}\)
Czyli po skorzystaniu z tego lewa strona wygląda tak:
\(\displaystyle{ \log_x a+\log_x a^2+\dots+\log_x a^{100}}\)
zaś prawa tak:
\(\displaystyle{ 5050\log_x a}\)
Teraz wystarczy najpierw po lewej stronie skorzystać wielokrotnie ze wzoru\(\displaystyle{ \log_a b^c=c\log_a b}\) dla\(\displaystyle{ c \ge 0, a,b>0, a,b \neq 1}\) a to daje nam
\(\displaystyle{ L=\log_x a(1+2+\dots+100)}\)
a potem zwinąć \(\displaystyle{ 1+2+\dots+100}\) ze wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego (jak nic wychodzi \(\displaystyle{ 5050}\) i zadanie skończone).

Możliwe, bo teraz jak to napisałeś to wszystko jest logiczne i się zgadza. No nic, dziękuję za pomoc.