Matematyka.pl

Wyznacz zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ y=\sin x-2 \sin ^{2}x+4 \sin ^{3}x-...}\)

Po pierwsze, rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ |-2\sin x|<1}\) - dziedzina.
Następnie masz ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, gdy \(\displaystyle{ |-2\sin x|<1}\):
\(\displaystyle{ \sin x-2 \sin ^{2}x+4 \sin ^{3}x-...= \frac{\sin x}{1+2\sin x}}\)
Następnie rozważ funkcję \(\displaystyle{ f(t)= \frac{t}{1+2t}}\)
dla \(\displaystyle{ t \in\left( -\frac 1 2, \frac 1 2\right)}\) - jeśli nie widzisz, jaki ona ma zbiór wartości, to policz pochodną, zbadaj przebieg zmienności itd.

Ok
\(\displaystyle{ D: \sin x \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\)
Nie widzę za bardzo jaki ma zbiór wartości, a pochodnych jeszcze nie miałem i powinienem rozwiązać zadanie bez nich, ale czy można po prosty podstawić końce przedziału dziedziny i wtedy wyjdzie, że:
Dla\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}, \infty}\) , a dla\(\displaystyle{ \frac{1}{2} , \frac{1}{4}}\) ?

No nie wystarczy, bo powinieneś jeszcze uzasadnić, że każda wartość z przedziału
\(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac 1 4\right)}\) zostanie przyjęta
(tam swoją drogą jest \(\displaystyle{ -\infty}\), bo intuicyjnie mówiąc dzielisz coś ujemnego przez coś bardzo małego dodatniego).
Można to załatwić, kombinując z własnością Darboux, którą mają funkcje ciągłe, ale nie wiem, czy to znasz.
A jeśli nie, to można by zapisać
\(\displaystyle{ \frac{t}{1+2t}= \frac{t+\frac 1 2-\frac 1 2}{1+2t}=\frac 1 2-\frac{1}{2+4t}}\)
i teraz tak pokombinować:
1) \(\displaystyle{ g(t)=2t+4t}\) odwzorowuje przedział \(\displaystyle{ \left( -\frac 1 2, \frac 1 2\right)}\) na przedział
\(\displaystyle{ (0,4)}\) (wiedza z gimnazjum, czy teraz z podstawówki).
2) \(\displaystyle{ h(x)=- \frac{1}{x}}\) odwzorowuje przedział \(\displaystyle{ (0,4)}\) na \(\displaystyle{ \left( -\infty, -\frac 1 4\right)}\).
Teraz to przesuwamy w górę o \(\displaystyle{ \frac 1 2}\) i łącząc te fakty, dostajemy, że
\(\displaystyle{ f(t)= \frac{t}{1+2t} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2+4t}}\)
odwzorowuje \(\displaystyle{ \left( -\frac 1 2, \frac 1 2\right)}\) w \(\displaystyle{ \left( -\infty, \frac 1 4\right)}\)

Nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ g(t) = 2t + 4t}\)

To jest literówka, miało być \(\displaystyle{ 2+4t}\). Sorry.

No i teraz wszystko jasne . Dziękuję za pomoc, ponownie.