Matematyka.pl

Na okręgu opisano romb, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę \(\displaystyle{ 30 ^{o}}\). Wykaż, że krótsza przekątna, bok oraz dłuższa przekątna w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Niech romb ma bok \(\displaystyle{ a}\).
\(\displaystyle{ \sin 15^{\circ}= \sin ( 45^{\circ}-30^{\circ})...\\
\sin 75^{\circ}= \sin ( 45^{\circ}+30^{\circ})\\
\sin 15^{\circ}= \frac{ \frac{d_1}{2} }{a} \Rightarrow d_1=...\\
\sin 75^{\circ}= \frac{ \frac{d_2}{2} }{a} \Rightarrow d_1=...\\}\)
Potem sprawdzasz czy:
\(\displaystyle{ a^2=d_1d_2}\)


Alternatywą jest tw. kosinusów:
\(\displaystyle{ d_1^2=a^2+a^2-2a^2\cos 30^{\circ}\\
d_2^2=a^2+a^2-2a^2\cos 150^{\circ}}\)
Teza:
\(\displaystyle{ a^2= \sqrt{d_1^2d_2^2}}\)

EDIT:

Pani Nike mnie wypunktowała, a Piasek znokautował:
\(\displaystyle{ P=a \cdot a \cdot \sin 30^{\circ}= \frac{1}{2}d_1d_2}\)

\(\displaystyle{ k}\)-rótsza, \(\displaystyle{ b}\)-ok, \(\displaystyle{ d}\)-łuższa;

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{\frac{1}{2}k}{b}=\sin\frac{\frac{\pi}{6}}{2}\\ \frac{\frac{1}{2}d}{b}=\cos\frac{\frac{\pi}{6}}{2}\end{cases}\ \implies\ \frac{1}{2}\frac{kd}{b^2}=2\sin\frac{\frac{\pi}{6}}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{1}{2}\ \implies\ \frac{k}{b}=\frac{b}{d}}\)

Z porównania pól liczonych dwoma sposobami (trójkąt - połowa rombu, albo cały romb) mamy od razu \(\displaystyle{ a^2=d_1 \cdot d_2}\).