Obrót każdej z dwóch założonych jednocześnie firm wyniósł w pierwszym miesiącu 50000zł. Po 5 miesiącach okazało się, że obrót pierwszej z tych firm rósł z miesiąca na miesiąc w ciągu arytmetycznym, natomiast obrót drugiej w ciągu geometrycznym, przy czym zarówno w drugim jak i w trzecim miesiącu obrót pierwszej firmy był o 2000zł wyższy niż drugiej. Która z tych firm miała większą sumę obrotu w okresie tych 5 miesięcy i o ile?
P.S. Faktycznie po raz pierwszy korzystam z tego forum i nie mogłam się połapać w nim za bardzo:) Mam nadzieję, że już wpisuję się tam gdzie powinnam. Pozdrawiam.
ciąg arytmetyczny i geometryczny
ciąg arytmetyczny i geometryczny
dobrze się wpisujesz 
niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) to będzie obrót pierwszej firmy w kolejnych miesiącach, \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem arytmetycznym,
\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1} + r = a_1 + (n-1)\cdot r}\). (1)
\(\displaystyle{ (b_n)}\) to będzie obrót drugiej firmy w kolejnych miesiącach, \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest ciągiem geometrycznym,
\(\displaystyle{ b_n = b_{n-1} \cdot q = b_1 \cdot q^{n-1}}\). (2)
Z treści zadania mamy, że
\(\displaystyle{ a_1 = b_1 = 50000 \\ a_2 = b_2 + 2000 \\ a_3 = b_3 + 2000}\)
wstawmy wzory (1) i (2) oraz wartości pierwszych wyrazów do dwóch ostatnich równań, wyliczmy \(\displaystyle{ r}\) z pierwszego równania, wstawiamy do drugiego, po uporzadkowaniu bedziemy mieć równanie kwadratowe z niewiadomą q:
\(\displaystyle{ q^2 - 2q + 0,96 = 0}\), rozwiązujemy równanie
\(\displaystyle{ q_1 = 1,2 \: q_2 = 0,8}\) ale w treści zadania było, że obroty w kolejnych miesiącach wzrastały więc \(\displaystyle{ q = 1,2 \: r = 12000}\) (r wyliczone z równania)
Teraz trzeba policzyć sumę obrotów po pięciu miesiącach obydwu firm ( dla pierwszej stosujesz wzór na sumę 5 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, wychodzi 370000, a dla drugiej wzór na sumę pierwszych 5 wyrazów ciągu geometrycznego, wychodzi 372080).
372080 > 370000, więc lepszy wynik uzyskała druga firma.
niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) to będzie obrót pierwszej firmy w kolejnych miesiącach, \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem arytmetycznym,
\(\displaystyle{ a_n = a_{n-1} + r = a_1 + (n-1)\cdot r}\). (1)
\(\displaystyle{ (b_n)}\) to będzie obrót drugiej firmy w kolejnych miesiącach, \(\displaystyle{ (b_n)}\) jest ciągiem geometrycznym,
\(\displaystyle{ b_n = b_{n-1} \cdot q = b_1 \cdot q^{n-1}}\). (2)
Z treści zadania mamy, że
\(\displaystyle{ a_1 = b_1 = 50000 \\ a_2 = b_2 + 2000 \\ a_3 = b_3 + 2000}\)
wstawmy wzory (1) i (2) oraz wartości pierwszych wyrazów do dwóch ostatnich równań, wyliczmy \(\displaystyle{ r}\) z pierwszego równania, wstawiamy do drugiego, po uporzadkowaniu bedziemy mieć równanie kwadratowe z niewiadomą q:
\(\displaystyle{ q^2 - 2q + 0,96 = 0}\), rozwiązujemy równanie
\(\displaystyle{ q_1 = 1,2 \: q_2 = 0,8}\) ale w treści zadania było, że obroty w kolejnych miesiącach wzrastały więc \(\displaystyle{ q = 1,2 \: r = 12000}\) (r wyliczone z równania)
Teraz trzeba policzyć sumę obrotów po pięciu miesiącach obydwu firm ( dla pierwszej stosujesz wzór na sumę 5 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, wychodzi 370000, a dla drugiej wzór na sumę pierwszych 5 wyrazów ciągu geometrycznego, wychodzi 372080).
372080 > 370000, więc lepszy wynik uzyskała druga firma.