Matematyka.pl

ZAD.1
Wyznacz wszystkie wyrazy ciagu \(\displaystyle{ a_n= \frac{2n^2-3n+10}{n}}\) \(\displaystyle{ n N_+}\) które sa liczbami naturalnymi.

ZAD2
Podaj przykład malejacego ciagu (an), dla którego ciag \(\displaystyle{ b_n = |a_n|}\) jest rosnacy.

Zad3
W trójkat równoboczny \(\displaystyle{ T_1}\) o boku długosci 6 cm wpisano trójkat równoboczny \(\displaystyle{ T_2}\)w taki
sposób, że wierzchołki trójkata \(\displaystyle{ T_2}\) dziela boki trójkata \(\displaystyle{ T_1}\)w stosunku \(\displaystyle{ 1 : 2}\) (patrz rysunek). W
trójkat \(\displaystyle{ T_2}\)analogicznie wpisano trójkat równoboczny \(\displaystyle{ T3}\) itd. Oblicz sume pól wszystkich
trójkatów równobocznych.


Z góry dziękuję za każdą pomoc, W piątek mam prace klasową a byłam tylko na 2 lekcjach z tego działu. Jeśli ma ktoś troszkę czasu to prosiłabym o wytłumaczenie.

\(\displaystyle{ a _{n}=2n-3+ \frac{10}{n} 2n-3+ \frac{10}{n} qslant 0}\)
I tu widać że n musi być dzielnikiem dziesiątki a więc \(\displaystyle{ n {1,2,5,10}}\).
Odp. Wyrazy 1,2,5,10 ciągu (an) są liczbami naturalnymi.

Zad 3,

Wiadomo, że \(\displaystyle{ \alpha}\) przy wierzchołku trójkąta \(\displaystyle{ T_{1}}\) wynosi \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) Teraz z twierdzenia cosinusów wyliczamy bok trójkąta \(\displaystyle{ T_{2}}\).

\(\displaystyle{ x^2=4+16-16cos60^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ x=2\sqrt{3}}\)

Pole trójkąta równobocznego wynosi: \(\displaystyle{ P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\)

Teraz skoro znasz bok \(\displaystyle{ T1, T2}\) to liczymy:
\(\displaystyle{ P_{1}=9\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=3\sqrt{3}}\)

Więc dzieląc te pola przez siebie otrzymamy \(\displaystyle{ q=\frac{1}{3}}\) Możesz teraz udowadniać, że będzie tak dla każdego mniejszego trójkąta. Wystarczy policzyć \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{a_{1}}{1-q}}\)