Matematyka.pl

trzy liczby dodatnie a, b, c tworza ciąg geometr. suma tych liczb jest rowna 26 a suma ich odwrotności wynosi 0.7(2) [ wyliczyłem ze to ułamek 13/18] znajdź te liczby

......nie chodzi mi tu o wynik ale o łatwy sposób rozwiazania. sam zrobiłem to zadanie wykorzystując zwykłe podstawianie (w wyniku którego powstał wielomian stopnia 4 z dwoma pierwiastkami 3 i 1/3 co nie jest łatwe do wyliczenia gdyż robiłem to metodą dzielenia przez pierwiastek wielomianu) nie był to najłatwiejszy sposób ale cóż ciężka praca przynosi efekty ..proszę o pomysły na inny sposób zrobienia tego zadania

Ja mam tak:

\(\displaystyle{ \large\left{\begin{array}{l}a+b+c=26\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{13}{18}\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \large\left{\begin{array}{l}a(1+q+q^2)=26\\\frac{1}{a}(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2})=\frac{13}{18}\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \large\left{\begin{array}{l}a(\frac{q^3-1}{q-1})=26\\\frac{1}{a}\frac{\frac{1}{q^3}-1}{\frac{1}{q}-1}=\frac{13}{18}\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \large\left{\begin{array}{l}a(q^2+q+1)=26\\\frac{1}{aq^2}(q^2+q+1)=\frac{13}{18}\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \large\left{\begin{array}{l}q^2+q+1=\frac{26}{a}\\q^2+q+1=\frac{13c}{18}\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \frac{26}{a}=\frac{13c}{18}}\)

ac=36

b=6

Teraz nie powinno być problemów.

minęlo troche czasu zanim dotarło do mnie to co napisałeś ...wielomian q^2+q+1 zamieniony został dzięki wzorowi na sume ciągu geometrycznego na iloraz welomianów? bo ten wzór wyglada nieco inaczej tam jest w liczniku i mianowniku od jedynki odjęte jest q a nie odwrotnie... dzieki, ta metoda jest łatwiejsza ..chociaż raczej na nia bym nie wpadł sam:( praktyka czyni mistrza jak to powiadają

Tak to ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego. Masz:

\(\displaystyle{ 1+q+q^2=\frac{1-q^3}{1-q}=\frac{q^3-1}{q-1}=\frac{ (q-1) (q^2+q+1) }{q-1}=q^2+q+1}\)

Tam jest wzór skróconego mnożenia.

To samo z \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}}\)