Samochód sp jadący pod górę w pierwszej sekundzie pokonał 25 m, a w każdej następnej o pół metra mniej niż w poprzedniej. W tym samym momencie, w którym samochód sp rozpoczął podjazd, zjazd z góry ropoczął samochód sz będący w odległości 360 m. od sp. Samochód sz w pierwszej sekundzie przebył drogę 9 m, a w każdej następnej o 2 m. więcej niż w poprzedniej. Jaką odległość pokonał samochód sp w chwili minięcia z samochodem sz?
I jeszcze jedno zadanie.
Przy zakupie zestawu kina domowego kosztującego 4200 zł. pierwsza rata wynosiła 420 zł, a każda następna rata jest o 20 zł niższa od poprzedniej. Oblicz na ile rat rozłożona jest spłata oraz wysokość ostatniej raty.
Proszę o obliczenia i dzięki z góry.
(2 zadania) Zadanie z samochodami i ciągami
-
grzegorz475
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 21 kwie 2005, o 07:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: dąbrowa górnicza
- Podziękował: 1 raz
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1627
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
(2 zadania) Zadanie z samochodami i ciągami
1 Niech ten jadący pod góre bedzie samochodem numer 1, a ten zjeżdzający, samochodem numer 2.
Zauważ, że droga przebyta w każdej kolejnej sekundzie zarówno przez samochód 1 jak i 2 to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Uzależnijmy drogi od czasu.
Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem wyrazów odpowiadającym przebytej drodze w kolejnych sekundach przez samochów 1. Analogicznie niech \(\displaystyle{ (b_n)}\) będzie ciągiem dla samochodu 2.
\(\displaystyle{ a_1=25\, m. \: \: r=-0,5\, m.}\)
\(\displaystyle{ a_n=25\, m.\,+(n-1)\cdot(-0,5\, m.)}\)
Zatem po n sekundach samochód przebędzie drogę równej sumie wyrazów \(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n}\). A to już ze wozru na sumę ciagu arytmetycznego.
\(\displaystyle{ S_a=\frac{25\, m. \,+25\, m. \,+(n-1)\cdot(-0,5\, m.)}{2}\cdot n}\)
Analogicznie masz z \(\displaystyle{ (b_n)}\)
\(\displaystyle{ b_1=9\, m. \: \: r=2\, m.}\)
\(\displaystyle{ b_n=9\, m.\,+(n-1)\cdot (2\, m.)}\)
\(\displaystyle{ S_b=\frac{9\, m. \,+9\, m. \,+(n-1)\cdot(2\, m.)}{2}\cdot n}\)
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ S_a+S_b=360\, m.}\), to w momencie tym samochody te sie będą wymijać. Zatem otrzymamy równanie z jedną niewiadomą czasu. Mając czas można policzyć drogę przebytą przez te samochody.
\(\displaystyle{ \frac{25\, m. \,+25\, m. \,+(n-1)\cdot(-0,5\, m.)}{2}\cdot n+\frac{9\, m. \,+9\, m. \,+(n-1)\cdot(2\, m.)}{2}\cdot n=360\, m.}\)
\(\displaystyle{ n\cdot(50\, m. \, + 18\, m. \, + (n-1)\cdot (1,5\, m.))=720\, m.}\)
Po wymnożeniu przez 2 i powyrzucaniu nawiasów oraz po przeniesienu wszystkiego najedna stronę otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ 3n^2+133n-1440=0\, \Longrightarrow\, n=9}\)
Zatem w 9 sekundzie auta te będa się mijać.
Chcemy obliczyć przebytą drogę samochodu 1 podczas pierwszych 9 sekund. Wystarczy podstawić n=9 do wzoru:
\(\displaystyle{ S_a=\frac{25\, m. \,+25\, m. \,+(n-1)\cdot(-0,5\, m.)}{2}\cdot n}\)
\(\displaystyle{ S_a=\frac{50\, m. \, + 8\cdot (-0,5\, m.)}{2}\cdot 9=\frac{46\, m.}{2}\cdot 9=32\, m. 9=207\, m.}\)
2
Mamy ciąg arytmetyczny o \(\displaystyle{ r=20,\: S_n=4200,\: a_1=420}\). Mamy policzyć n.
\(\displaystyle{ a_n=420-20(n-1)=440-20n}\)
\(\displaystyle{ S_n=4200=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}\)
\(\displaystyle{ 8400=(420+440-20n)n}\)
\(\displaystyle{ n^2-43n+420=0}\)
n=15
Zauważ, że droga przebyta w każdej kolejnej sekundzie zarówno przez samochód 1 jak i 2 to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Uzależnijmy drogi od czasu.
Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem wyrazów odpowiadającym przebytej drodze w kolejnych sekundach przez samochów 1. Analogicznie niech \(\displaystyle{ (b_n)}\) będzie ciągiem dla samochodu 2.
\(\displaystyle{ a_1=25\, m. \: \: r=-0,5\, m.}\)
\(\displaystyle{ a_n=25\, m.\,+(n-1)\cdot(-0,5\, m.)}\)
Zatem po n sekundach samochód przebędzie drogę równej sumie wyrazów \(\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n}\). A to już ze wozru na sumę ciagu arytmetycznego.
\(\displaystyle{ S_a=\frac{25\, m. \,+25\, m. \,+(n-1)\cdot(-0,5\, m.)}{2}\cdot n}\)
Analogicznie masz z \(\displaystyle{ (b_n)}\)
\(\displaystyle{ b_1=9\, m. \: \: r=2\, m.}\)
\(\displaystyle{ b_n=9\, m.\,+(n-1)\cdot (2\, m.)}\)
\(\displaystyle{ S_b=\frac{9\, m. \,+9\, m. \,+(n-1)\cdot(2\, m.)}{2}\cdot n}\)
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ S_a+S_b=360\, m.}\), to w momencie tym samochody te sie będą wymijać. Zatem otrzymamy równanie z jedną niewiadomą czasu. Mając czas można policzyć drogę przebytą przez te samochody.
\(\displaystyle{ \frac{25\, m. \,+25\, m. \,+(n-1)\cdot(-0,5\, m.)}{2}\cdot n+\frac{9\, m. \,+9\, m. \,+(n-1)\cdot(2\, m.)}{2}\cdot n=360\, m.}\)
\(\displaystyle{ n\cdot(50\, m. \, + 18\, m. \, + (n-1)\cdot (1,5\, m.))=720\, m.}\)
Po wymnożeniu przez 2 i powyrzucaniu nawiasów oraz po przeniesienu wszystkiego najedna stronę otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ 3n^2+133n-1440=0\, \Longrightarrow\, n=9}\)
Zatem w 9 sekundzie auta te będa się mijać.
Chcemy obliczyć przebytą drogę samochodu 1 podczas pierwszych 9 sekund. Wystarczy podstawić n=9 do wzoru:
\(\displaystyle{ S_a=\frac{25\, m. \,+25\, m. \,+(n-1)\cdot(-0,5\, m.)}{2}\cdot n}\)
\(\displaystyle{ S_a=\frac{50\, m. \, + 8\cdot (-0,5\, m.)}{2}\cdot 9=\frac{46\, m.}{2}\cdot 9=32\, m. 9=207\, m.}\)
2
Mamy ciąg arytmetyczny o \(\displaystyle{ r=20,\: S_n=4200,\: a_1=420}\). Mamy policzyć n.
\(\displaystyle{ a_n=420-20(n-1)=440-20n}\)
\(\displaystyle{ S_n=4200=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}\)
\(\displaystyle{ 8400=(420+440-20n)n}\)
\(\displaystyle{ n^2-43n+420=0}\)
n=15