Matematyka.pl

Mam zadanie o treści:

Niech X będzie przestrzenią \(\displaystyle{ C([0,1])}\). Sprawdzić czy \(\displaystyle{ (x|y) = \int_{0}^{1} t x(t)y(t) dt \;\; \text{dla }\;\; x,y\in X}\) określa iloczyn skalarny w przestrzeni X.

Udowodniłam 3 warunki definicji iloczynu skalarnego, ale mam problem z ostatnim, w którym mam pokazać, że \(\displaystyle{ (x|x) \ge 0 ; (x|x) = 0 \Leftrightarrow x = 0}\).
Może ktoś pomoże w rozpisaniu tego warunku?

\(\displaystyle{ (x|x) = \int_{0}^{1} t x^2(t) dt}\). Funkcja \(\displaystyle{ tx^2(t)}\) jest nieujemna w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc zachodzi \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} t x^2(t) dt \ge 0}\) przy czym równości zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ tx^2(t) \equiv 0}\), czyli gdy \(\displaystyle{ x(t) \equiv 0}\).

dziękuję za pomoc, podobnie myślałam ale nie miałam 100-procentowej pewności.