Matematyka.pl

Mamy dwie normy w \(\displaystyle{ B(X)}\), standardową \(\displaystyle{ \|x\|_{\infty}}\) i daną wzorem: \(\displaystyle{ \|x\|=|x(u_{0})|+\sup_{u,v \in X} |x(u)-x(v)|}\), gdzie \(\displaystyle{ u_{0}}\) jest dowolną ustaloną liczbą z \(\displaystyle{ X}\). Trzeba pokazać, że są one równoważne. W jedną stronę wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \|x\|=|x(u_{0})|+\sup_{u,v \in X}|x(u)-x(v)|\leqslant
\sup_{u\in X}|x(u)|+\sup_{u,v\in X}(|x(u)-0|+|0-x(v)|)\leqslant\sup_{u\in X}|x(u)|+\sup_{u\in X}|x(u)|+\sup_{v\in X}|x(v)|=3\sup_{u\in X}|x(u)|=3\|x\|_{\infty},}\)
natomiast w drugą stronę dochodzę do takiego czegoś
\(\displaystyle{ \|x\|=|x(u_{0})|+\sup_{u,v \in X}|x(u)-x(v)|\geqslant\sup_{u,v \in X}|x(u)-x(v)|\geqslant\sup_{u,v \in X}||x(u)|-|x(v)||}\)
i nie wiem co z tym dalej za bardzo zrobić. Prosiłabym o sprawdzenie i ewentualne wskazówki co dalej.