Matematyka.pl

Udowodnić:
\(\displaystyle{ \nabla \circ ( \vec A \times \vec B)= \vec B \circ (\nabla \times \vec A)- \vec A \circ (\nabla \times \vec B)}\)

\(\displaystyle{ L=\nabla ( \vec A \times \vec B)= (\frac{ \partial }{ \partial x}(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})+ \frac{ \partial }{ \partial y}(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})+ \frac{ \partial }{ \partial z}(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}))}\)


\(\displaystyle{ P=\vec B \circ (\nabla \times \vec A)- \vec A \circ (\nabla \times \vec B)= \vec B\circ (\frac{ \partial A_{z}}{ \partial y}-\frac{ \partial A_{y}}{ \partial z},\frac{ \partial A_{x}}{ \partial z}-\frac{ \partial A_{z}}{ \partial x},\frac{ \partial A_{y}}{ \partial x}-\frac{ \partial A_{x}}{ \partial y}-\vec A\circ (\frac{ \partial B_{z}}{ \partial y}-\frac{ \partial B_{y}}{ \partial z},\frac{ \partial B_{x}}{ \partial z}-\frac{ \partial B_{z}}{ \partial x},\frac{ \partial B_{y}}{ \partial x}-\frac{ \partial B_{x}}{ \partial y})= (\frac{ \partial A_{z}B_{x}}{ \partial y}-\frac{ \partial A_{y}B_{x}}{ \partial z}+\frac{ \partial A_{x}B_{y}}{ \partial z}-\frac{ \partial A_{z}B_{y}}{ \partial x}+\frac{ \partial A_{y}B_{z}}{ \partial x}-\frac{ \partial A_{x}B_{z}}{ \partial y})-(\frac{ \partial B_{z}A_{x}}{ \partial y}-\frac{ \partial B_{y}A_{x}}{ \partial z}+\frac{ \partial B_{x}A_{y}}{ \partial z}-\frac{ \partial B_{z}A_{y}}{ \partial x}+\frac{ \partial B_{y}A_{z}}{ \partial x}-\frac{ \partial B_{x}A_{z}}{ \partial y})=2 \frac{ \partial A_{z}B_{x}}{ \partial y}-2 \frac{ \partial A_{x}B_{z}}{ \partial y}-2\frac{ \partial A_{y}B_{x}}{ \partial z}+2\frac{ \partial A_{x}B_{y}}{ \partial z}-2 \frac{ \partial A_{z}B_{y}}{ \partial x}+2 \frac{ \partial A_{y}B_{z}}{ \partial x}}\)

gdzie jest błąd? skąd te 2?
czy
\(\displaystyle{ A_{x} \circ \frac{ \partial B_{y}}{ \partial y }=\frac{ \partial A_{x}B_{y}}{ \partial y} ?}\)
Jeśli nie, to jak poskładać prawą część równania tak, aby była równa lewej?
PROSZĘ o pomoc...

kaatriiina pisze:czy \(\displaystyle{ A_{x} \circ \frac{ \partial B_{y}}{ \partial y }=\frac{ \partial A_{x}B_{y}}{ \partial y} ?}\)

Zdecydowanie nie - i to kółko jest nieuprawnione (to jest zwykły iloczyn).


Idea dowodu polega na rozpisaniu lewej strony, a potem uporządkowaniu tak, aby otrzymać prawą. Rozpisuje się to zgodnie ze wzorem na pochodną iloczynu. Np

\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x}(A_{y}B_{z})=B_z\frac{ \partial A_y}{ \partial x}+A_y\frac{ \partial B_z}{ \partial x}}\)

itd

Pozdrawiam.

Dziękuję za pomoc ) Mam jeszcze jedno pytanie:
\(\displaystyle{ (A \cdot \nabla) B=(A_{x} \frac{ \partial }{ \partial x}+A_{y} \frac{ \partial }{ \partial y}+A_{z} \frac{ \partial }{ \partial z})(B_{x},B_{y},B_{z})=(A_{x} \frac{ \partial B_{x}}{ \partial x}+A_{y} \frac{ \partial B_{x}}{ \partial y}+A_{z} \frac{ \partial B_{x}}{ \partial z}, A_{x} \frac{ \partial B_{y}}{ \partial x}+A_{y} \frac{ \partial B_{y}}{ \partial y}+A_{z} \frac{ \partial B_{y}}{ \partial z}, A_{x} \frac{ \partial B_{z}}{ \partial x}+A_{y} \frac{ \partial B_{z}}{ \partial y}+A_{z} \frac{ \partial B_{z}}{ \partial z})}\)
czy dobrze to rozpisałam?

Dobrze.

Pozdrawiam.