Matematyka.pl

Witam proszę o jakieś pomysły na rozwiązanie poniższego zadania
\(\displaystyle{ \varphi (x,y)}\) to funkcja harmoniczna w \(\displaystyle{ x^2+y^2 <2}\)
taka, że \(\displaystyle{ \varphi (1/2,1/2)=0.}\) Udowodnij, że istnieją co najmniej dwie różne wartości \(\displaystyle{ t in [0,2 pi)}\) takie, że \(\displaystyle{ \varphi (cos t,sin t)=0.}\)

Są dwa przypadki.

1) Twoja funkcja jest stała, wtedy teza zachodzi w sposób oczywisty.

2) Twoja funkcja nie jest stała. Rozpatrzmy okrąg jednostkowy. Zasada maksimum/minimum dla funkcji harmonicznych mówi, że f osiąga maksimum/minimum na brzegu dysku, czyli na okręgu jednostkowym. W szczególności, w pewnym punkcie okręgu jednostkowego jest dodatnia, a w pewnym ujemna. Zostawiam Tobie do pokazania, że funkcja na okręgu o tej własności ma najmniej dwa zera.

Dziękuję, zadanie okazało się dosyć proste. Pozdrawiam Kolegę z MIM-u