Matematyka.pl

Natknąłem się na następny nietypowy przykład zadania o treści jak w tytule tematu.
Należy obliczyć całkę:
\(\displaystyle{ \iint\limits_{S} \vec{F} \vec{ds} =?}\) //Niestety nie udało mi się w Texie zrobić symbolu ∯
Dane jest pole i powierzchnia S, orientacja na zewnątrz:
\(\displaystyle{ \vec{F}=r^{2} \cdot \vec{r}}\)
\(\displaystyle{ S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}\)

Moje pytania:
1. Jak mam rozumieć \(\displaystyle{ r^{2} \cdot \vec{r}}\)?
Czy mam to przedstawić jako:
\(\displaystyle{ (x^{2},y^{2},z^{2}) \cdot (x,y,z) = (x^{3},y^{3},z^{3})}\) ?

2. Czy mam liczyć wektor normalny do tej powierzchni jeszcze? Wychodzi mi, że wyglądałby on tak:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \frac{\vec{r}}{R}}\)

3. Czy mogę tu zastosować twierdzenie Gaussa Ostrogradskiego? Czy raczej należałoby użyć wzoru
\(\displaystyle{ \iint_{}^{} R-PF_{x}-QF_{y}}\) ?

Z góry dziękuję za jakiekolwiek sugestie i pomoc!

Kerkyros pisze: 1. Jak mam rozumieć \(\displaystyle{ r^{2} \cdot \vec{r}}\)?
Czy mam to przedstawić jako:
\(\displaystyle{ (x^{2},y^{2},z^{2}) \cdot (x,y,z) = (x^{3},y^{3},z^{3})}\) ?

Zwyczajowo \(\displaystyle{ r=|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\).

Kerkyros pisze:2. Czy mam liczyć wektor normalny do tej powierzchni jeszcze? Wychodzi mi, że wyglądałby on tak:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \frac{\vec{r}}{R}}\)

To zależy od tego, co i jak chcesz liczyć. Wektor wygląda poprawnie.

Kerkyros pisze:3. Czy mogę tu zastosować twierdzenie Gaussa Ostrogradskiego? Czy raczej należałoby użyć wzoru
\(\displaystyle{ \iint_{}^{} R-PF_{x}-QF_{y}}\) ?

Twierdzenie G-O.

Stwierdziłem, że jednak ten wektor:
\(\displaystyle{ \vec{n}= \frac{\vec{r}}{R}}\)
nie jest potrzebny do zastosowania twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Kiedy wobec tego byłby wymagany?
---------------------------------------------------
Zakresy zmiennych użytych w całce potrójnej:
\(\displaystyle{ V: \left\{ (r, \varphi, \theta) \quad 0 \le r \le R; 0 \le \varphi \le 2\pi; \frac{-\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}\right\}}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \iint\limits_{S} \vec{F} \vec{ds} = \iiint\limits_{V} div\vec{F}\vec{ds}=\iiint\limits_{V} 3x^{2}+3y^{2}+3z^{2} dxdydz =\int_{0}^{R} \left[ \int_{0}^{2\pi} \left[ \int_{ \frac{-\pi}{2} }^{ \frac{\pi}{2} } 3R^{2} \cdot R^{2}cos \theta d \theta \right] d \varphi \right] dr =}\)

\(\displaystyle{ =\int_{0}^{R} \left[ \int_{0}^{2\pi} 6R^{4} d \varphi \right] dr =\int_{0}^{R} 12 \pi R^{4} dr=12 \pi R^{5}}\)

1. Czy to rozwiązanie jest poprawne?
2. Czy na pewno nie należy uwzględniać wektora normalnego do powierzchni?

Kerkyros pisze: 1. Czy to rozwiązanie jest poprawne?

Jestem trochę zmęczony, ale wydaje mi się, że dywergencja jest niepoprawnie.

Liczymy dywergencję z pola:

\(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2}+z^{2}) \cdot (x,y,z)}\),

więc przykładowo, pochodna po \(\displaystyle{ x}\) pierwszej współrzędnej to

\(\displaystyle{ 2x\cdot x+x^2+y^2+z^2=3x^2+y^2+z^2}\).

Pozostałe pochodne cyklicznie, więc wyjdzie ostatecznie \(\displaystyle{ 4x^2+4y^2+4z^2}\).
Dalsze rachunki z Twojego posta mają również jeden błąd. Współrzedne sferyczne mają inny jakobian. Zależny od \(\displaystyle{ r}\), nie \(\displaystyle{ R}\), tj \(\displaystyle{ r^2\cos \theta}\).

Kerkyros pisze: 2. Czy na pewno nie należy uwzględniać wektora normalnego do powierzchni?

Wektor normalny wykorzystujesz, gdy liczysz całkę zamieniając ją na niezorientowaną, lub stosując inne wzory z tym wektorem. Sama informacja o wektorze z treści zadania pozwala jedynie ustalić orientację oraz znak całki po zastosowaniu twierdzenia. Skoro twierdzenie zakłada, że orientacja jest "na zewnątrz" i taka jest w treści zadania, nie trzeba dokonywać korekty przez dopisanie znaku "-".