Matematyka.pl

Witam, jak obliczyć cyrkulację pola wektorowego \(\displaystyle{ w=[y,z,x]}\) wzdłuż krzywej \(\displaystyle{ K}\), jeżeli kontur \(\displaystyle{ K}\) jest opisany okręgiem \(\displaystyle{ x=a\cos^{2} (t), y= \sqrt{2}a\sin(t)\cos(t), z=a\sin^{2}(t) }\) dla \(\displaystyle{ 0 \le t \le \pi}\) , a \(\displaystyle{ S}\) kołem ograniczonym tym okręgiem.
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} P \dd x +Q \dd y+R \dd z = \int_{K}^{} w∘p \dd s }\) . Jak obliczyć wersor styczny do krzywej \(\displaystyle{ K}\) oraz czego potrzebuje do obliczenia całki?
Pozdrawiam.

A jaką znasz definicję cyrkulacji pola wektorowego wzdłuż krzywej? Jeśli kontur zadany jest parametryczne to wygodnie jest policzyć to tak:

\(\displaystyle{ \Gamma= \oint_{K}\mathbf{F}\circ \dd \ell = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\circ \frac{ \dd K }{ \dd t } \dd t = \int_{t_1}^{t_2}\left[ P,Q,R\right] \circ \left[ \frac{ \dd x }{ \dd t}, \frac{ \dd y }{ \dd t}, \frac{ \dd z }{ \dd t} \right] \dd t }\)

gdzie: \(\displaystyle{ t_1=0}\) oraz \(\displaystyle{ t_2=\pi}\) oraz \(\displaystyle{ P,Q,R}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ y,z,x}\) wstawiamy oczywiście parametryzację \(\displaystyle{ K}\) czyli za \(\displaystyle{ P}\) kładziesz \(\displaystyle{ y}\) a za to \(\displaystyle{ \sqrt{2}a\sin t\cos t }\) i to powtarzasz dla rzeszty. No i do policzenie masz jeszcze trzy pochodne. Podstawiasz wszystko do wzoru i zostaje już standardowa całka do policzenie.

Takie pytanie. Jak będzie zmieniał się promień koła ograniczonego opisanym okręgiem?

Nie będzie się zmieniał. Skoro to okrąg to ma stały promień z definicji okręgu.

PS Do policzenie całki nie musimy wiedzieć czy jest to okrąg czy coś innego, podstawiamy parametryzacje.

Przepraszam, za źle sformułowane pytanie oraz dziękuje za aktywność w moim temacie. Chciałbym teraz zastosować stwierdzenie Stokesa do obliczenia tej samej całki.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{S}^{}(rotF∘ n)dS}\) wiem, że \(\displaystyle{ 0 \le t \le \pi }\). Tu moje pytanie jak wygląda druga granica dla tej całki.

Możesz tak liczyć cyrkulację tylko wtedy całkujesz \(\displaystyle{ \text{rot} \mathbf{F} \circ n}\) po powierzchni ograniczonej przez to koło (kontur \(\displaystyle{ K}\)). Osobiście nie widzę jak wtedy można by było sparametryzować taką powierzchnię w przestrzeni. Można to też rozbić to na trzy całki powierzchniowe niezorientowane po rzutach \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyzny układu ale to też nie jest specjalnie zachęcające. Czyli:

\(\displaystyle{ \iint_{S} \text{rot} \mathbf{F} \circ \dd \mathbf{S} =\iint_{S_{yz}} \text{rot} \mathbf{F}_x\left( x(y,z),y,z\right) \dd y \dd z+\iint_{S_{zx}} \text{rot} \mathbf{F}_y\left( x,y(x,y),z\right) \dd z \dd x +\iint_{S_{xy }} \text{rot} \mathbf{F}_z\left( x,y,z(y,x)\right) \dd x \dd y }\)

gdzie: \(\displaystyle{ \text{rot} \mathbf{F}_i}\) to \(\displaystyle{ i}\) ta współrzędna rotacji czyli zwykła funkcja skalarna. A \(\displaystyle{ S_{ij}}\) to rzut płata \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ ij}\). Wtedy wydaje mi się, że można było by to tak policzyć, że parametryczny płaszczyznę w której znajduje się \(\displaystyle{ K}\) i zarazem \(\displaystyle{ S}\) co nie powinno być trudne bo można wyznaczyć \(\displaystyle{ 3}\) punkty które należą do \(\displaystyle{ K}\). I tą parametryzację kładziemy do każdej z tych całek. Trzeba jeszcze wyznaczyć żuty. Przykładowo rzut na \(\displaystyle{ xy}\) dany jest wnętrzem krzywej powstałej po przyjęciu \(\displaystyle{ z=0}\) w parametryzacji \(\displaystyle{ K}\) czyli jest to wnętrze krzywej (chyba elipsy):

\(\displaystyle{ \gamma: \begin{cases} x= a\cos^2t \\ y=a \sqrt{2}\sin t\cos t \end{cases} }\)

widać, że to dość żmudna procedura nie wiem jak to zrobić inaczej, twierdzenie Stokesa to chyba nie jest wygodna metoda w tym przykładzie.

Dodano po 7 minutach 43 sekundach:
Płaszczyzna w której leży \(\displaystyle{ K}\) dana jest równaniem \(\displaystyle{ x+z=1}\).