\(\displaystyle{ \int_{L} \frac{ xdx + ydy }{ \sqrt{ 1+x^2+y^2} }}\) gdzie L jest czwartą częścią elipsy leżącą w pierwszej ćwiartce w kierunki zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
Hmm, cały problem w tym, że chce te współrzedne biegunowe przetransformowac
do takiego układu, żeby ta elipsa wyglądała w nim jak okrąg i mianownik był prosty.
Niemniej nie wiem za bardzo jak to zrobić. Opisałby mi ktoś co, jak i dlaczego?
BTW to znacie w sieci stronki, gdzie są ładne rysunki powierzchni stopnia drugiego
i przykłady obliczania jakichś całek po tych powierzchniach (np. potrojnych)?
pozdrawiam,
freeze
Całka po krzywej skierowana - jak to rozwiązać?
-
Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
Całka po krzywej skierowana - jak to rozwiązać?
Najpierw potraktuj podaną funkcję jak pole wektorowe o składowej zetowej równej zero - oblicz jego rotację, okazuje się, że jest bezwirowe. Skoro tak, całka po krzywej może zostać zastąpiona całkowaniem po odcinku lub wprost różnicą wartości skalarnej funkcji pierwotnej dla pola w punktach początkowym i końcowym.
Nie podałeś parametrów elipsy, co może sugerować całkowanie po krzywej zamkniętej (niestety, nie napisałeś tego wprost, zatem mogę się tylko domyślać), a jak wiadomo, \(\displaystyle{ \oint_{k}\vec{F}\circ d\vec{k} = 0 \leftrightarrow rot\vec{F}=\vec{0}}\), ponieważ na mocy twierdzenia Stokesa \(\displaystyle{ \oint_{k}\vec{F} \circ d\vec{k} = \iint_{S} rot\vec{F}\circ d\vec{S}}\), jeżeli tylko krzywa jest zamknięta i gładka (lub kawałkami gładka).
Tak naprawdę pokusiliśmy się o zastosowanie uszczególnionej wersji twierdzenia Stokesa - twierdzenia Greena, które można pokrótce sformułować tak:
\(\displaystyle{ \oint_{k}\vec{F}\circ d\vec{k}=\oint_{k}Pdx + Qdy = \iint_{S}\left(\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} \right) dxdy}\)
Jeżeli krzywa jest zamknięta, to całka przedstawiona przez Ciebie wynosi 0.
Nie podałeś parametrów elipsy, co może sugerować całkowanie po krzywej zamkniętej (niestety, nie napisałeś tego wprost, zatem mogę się tylko domyślać), a jak wiadomo, \(\displaystyle{ \oint_{k}\vec{F}\circ d\vec{k} = 0 \leftrightarrow rot\vec{F}=\vec{0}}\), ponieważ na mocy twierdzenia Stokesa \(\displaystyle{ \oint_{k}\vec{F} \circ d\vec{k} = \iint_{S} rot\vec{F}\circ d\vec{S}}\), jeżeli tylko krzywa jest zamknięta i gładka (lub kawałkami gładka).
Tak naprawdę pokusiliśmy się o zastosowanie uszczególnionej wersji twierdzenia Stokesa - twierdzenia Greena, które można pokrótce sformułować tak:
\(\displaystyle{ \oint_{k}\vec{F}\circ d\vec{k}=\oint_{k}Pdx + Qdy = \iint_{S}\left(\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dy} \right) dxdy}\)
Jeżeli krzywa jest zamknięta, to całka przedstawiona przez Ciebie wynosi 0.