Matematyka.pl

Witam

Problem mam z wynikiem tej całki ... nie zgadza mi się jeden znak. Przedstawię moje rozwiązanie :

\(\displaystyle{ \int \limits_K \left( 2xy\right)\mbox{d}x+\left( x\right) \mbox{d}y}\) gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest zorientowanym dodatnio brzegiem półkola określonego nierównościami \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ x \ge 0}\)

Rysunek jaki zrobiłem do tej całki :



Liczę pochodne :

\(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x}=1 \\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=2x}\)

Podtawiam do wzoru \(\displaystyle{ \iint \limits_D \left( 1-2x\right) \mbox{d}x \mbox{d}y}\)

Teraz wprowadzam współrzędne biegunowe :

\(\displaystyle{ x=r \cos \phi \\
y=r \sin \phi \\
J=r}\)

Granice całkowania :

\(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2} \le \phi \le \frac{\pi}{2} \\
0 \le r \le 1}\)

Podstawiam teraz współrzędne i Jakobian do całki :

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left\{ \int_{ \frac{3 \pi}{2}}^{ \frac{\pi}{2}} \left( r-2r^{2} \cos \phi\right) \mbox{d}\phi \right\} \mbox{d}r =\int_{0}^{1}\left\{r \phi -2r^{2} \sin \phi \right) \right}_{ \frac{3 \pi}{2}}^{ \frac{\pi}{2}}dr=\int_{0}^{1}\left( - \pi r - 4r^{2}\right) dr=\left( - \frac{\pi}{2}r^{2}- \frac{4}{3} r^{3} \right)_{0}^{1}=- \frac{\pi}{2}- \frac{4}{3}}\)

A wynik w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}- \frac{4}{3}}\)
Z góry dzięki za pomoc !

Bądź konsekwentny.
Albo:
\(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2} \le \phi \le \frac{5\pi}{2}}\)
albo:
\(\displaystyle{ \frac{- \pi}{2} \le \phi \le \frac{\pi}{2}}\)

właśnie tego nie byłem pewien ! kombinowałem coś z minusem przy \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2}}\) ale teraz wiem jak to zapisać Wielkie dzięki !