Matematyka.pl

\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} a_{1}+b&b&...&b\\b&a_{2}+b&...&b\\.&.&&.\\.&.&&.\\.&.&&.\\b&b&...&a_{n}+b\end{bmatrix}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{1},...,a_{n},b \in \CC}\). Znajdź \(\displaystyle{ det B}\)

Próbowałem sprowadzić do trójkątnej górnej ale wychodzi mi:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a_{1}+b&b&b&...&b\\0&a_{2}&0&...&a_{n}\\0&0&a_{3}&...&a_{n}\\.&.&&&.\\.&.&&&.\\-a_{1}&0&...&0&a_{n}\end{bmatrix}}\)

Ma ktoś jakiś pomysł jak to zrobić?

Nie mam lepszego pomysłu niż oznaczyć sobie wyznacznik takiej macierzy \(\displaystyle{ n\times n}\) przez \(\displaystyle{ W_n}\), a następnie ułożyć rekurencję. Jeśli od ostatniej kolumny odejmiemy pierwszą i potem użyjemy rozwinięcia Laplace'a względem ostatniej kolumny, to po drobnej gimnastyce dostaniemy:
\(\displaystyle{ W_n = a_n \cdot W_{n-1}+b \cdot \prod_{i=1}^{n-1}a_i}\)
I teraz nietrudno udowodnić indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ W_n = \prod_{i=1}^{n}a_i + b \cdot \left( a_1\ldots a_{n-2}a_{n-1} +a_1\ldots a_{n-2}a_n+ a_1\ldots a_{n-3}a_{n-1}a_n + \ldots \right)}\)
(w nawiasie jest suma wszystkich możliwych iloczynów \(\displaystyle{ a_i}\) z jednym "brakującym" czynnikiem)

Przy założeniu, że \(\displaystyle{ a_i\neq 0}\) można to ładniej zapisać:
\(\displaystyle{ W_n = \prod_{i=1}^{n}a_i\cdot \left( 1 + b \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right)}\)

Q.