Wyznaczyć wyznacznik macierzy nxn
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccccc}0&1&1&1&.&.&.&1&1\\1&0&1&1&.&.&.&1&1\\1&-1&0&1&.&.&.&1&1\\1&-1&-1&0&.&.&.&1&1\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\1&-1&-1&-1&.&.&.&0&1\\1&-1&-1&-1&.&.&.&-1&0\end{array}\right]}\)
Jakoś indukcyjnie?
Wyznacznik macierzy n na n
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1596
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Re: Wyznacznik macierzy n na n
Możesz pokombinować z metodą Chió
kompendium-algebry-f145/wyznacznik-maci ... 60950.html
tylko dla niej w lewym górnym rogu nie może być zera, ale możesz skorzystać z faktu, że dla macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jeśli zapiszesz jej rzędy w odwrotnej kolejności, od ostatniego do pierwszego to wyznacznik mnożysz przez \(\displaystyle{ (-1)^n}\)
kompendium-algebry-f145/wyznacznik-maci ... 60950.html
tylko dla niej w lewym górnym rogu nie może być zera, ale możesz skorzystać z faktu, że dla macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jeśli zapiszesz jej rzędy w odwrotnej kolejności, od ostatniego do pierwszego to wyznacznik mnożysz przez \(\displaystyle{ (-1)^n}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8591
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3353 razy
Re: Wyznacznik macierzy n na n
\(\displaystyle{ \det(A_1)=0 \\ \det (A_2) =-1 \\ \det (A_3)=0}\)
Dla większych \(\displaystyle{ n}\):
Wykonanie dwóch przekształceń:
1) dodanie wiersza ostatniego do wiersza pierwszego
2) odjęcie kolumny ostatniej od kolumny pierwszej
daje:
\(\displaystyle{ \det(A_n)=\left|\begin{array}{cccccccc}0&0&0&0&.&.&.&0&1\\0&0&1&1&.&.&.&1&1\\0&-1&0&1&.&.&.&1&1\\0&-1&-1&0&.&.&.&1&1\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\1&-1&-1&-1&.&.&.&0&1\\0&-1&-1&-1&.&.&.&-1&0\end{array}\right|}\)
Rozwiniecie tego wyznacznika względem pierwsze go wiersza, a następnie względem pierwszej kolumny daje \(\displaystyle{ \det(A_n)= \ - \ \det(B_{n-2})}\)
gdzie \(\displaystyle{ B_k}\) to macierz stopnia \(\displaystyle{ k}\), o zerach na diagonali głównej , jedynkach nad tą diagonalą i minus jedynkach pod nią. Wyznacznik każdej macierzy antysymetrycznej nieparzystego stopnia jest stopnia jest zerowy, a stąd \(\displaystyle{ \det(A_{2m+1})=-\det(B_{2m-1})=0}\). Pozostaje wykazać ( np: przez dodanie wiersza ostatniego do wiersza pierwszego oraz dodanie kolumny ostatniej od kolumny pierwszej) , że wyznacznik każdej macierzy \(\displaystyle{ B_n}\) parzystego stopnia jest jedynką, a stąd \(\displaystyle{ \det(A_{2m})=-\det(B_{2m-2})=-1}\)
PS
Dla większych \(\displaystyle{ n}\):
Wykonanie dwóch przekształceń:
1) dodanie wiersza ostatniego do wiersza pierwszego
2) odjęcie kolumny ostatniej od kolumny pierwszej
daje:
\(\displaystyle{ \det(A_n)=\left|\begin{array}{cccccccc}0&0&0&0&.&.&.&0&1\\0&0&1&1&.&.&.&1&1\\0&-1&0&1&.&.&.&1&1\\0&-1&-1&0&.&.&.&1&1\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\1&-1&-1&-1&.&.&.&0&1\\0&-1&-1&-1&.&.&.&-1&0\end{array}\right|}\)
Rozwiniecie tego wyznacznika względem pierwsze go wiersza, a następnie względem pierwszej kolumny daje \(\displaystyle{ \det(A_n)= \ - \ \det(B_{n-2})}\)
gdzie \(\displaystyle{ B_k}\) to macierz stopnia \(\displaystyle{ k}\), o zerach na diagonali głównej , jedynkach nad tą diagonalą i minus jedynkach pod nią. Wyznacznik każdej macierzy antysymetrycznej nieparzystego stopnia jest stopnia jest zerowy, a stąd \(\displaystyle{ \det(A_{2m+1})=-\det(B_{2m-1})=0}\). Pozostaje wykazać ( np: przez dodanie wiersza ostatniego do wiersza pierwszego oraz dodanie kolumny ostatniej od kolumny pierwszej) , że wyznacznik każdej macierzy \(\displaystyle{ B_n}\) parzystego stopnia jest jedynką, a stąd \(\displaystyle{ \det(A_{2m})=-\det(B_{2m-2})=-1}\)
PS
To nie jest prawda.
Ostatnio zmieniony 19 lut 2024, o 11:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.