Matematyka.pl

Wyznaczyć wyznacznik macierzy nxn


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccccc}0&1&1&1&.&.&.&1&1\\1&0&1&1&.&.&.&1&1\\1&-1&0&1&.&.&.&1&1\\1&-1&-1&0&.&.&.&1&1\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\1&-1&-1&-1&.&.&.&0&1\\1&-1&-1&-1&.&.&.&-1&0\end{array}\right]}\)

Jakoś indukcyjnie?

Możesz pokombinować z metodą Chió
kompendium-algebry-f145/wyznacznik-maci ... 60950.html
tylko dla niej w lewym górnym rogu nie może być zera, ale możesz skorzystać z faktu, że dla macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jeśli zapiszesz jej rzędy w odwrotnej kolejności, od ostatniego do pierwszego to wyznacznik mnożysz przez \(\displaystyle{ (-1)^n}\)

\(\displaystyle{ \det(A_1)=0 \\ \det (A_2) =-1 \\ \det (A_3)=0}\)

Dla większych \(\displaystyle{ n}\):
Wykonanie dwóch przekształceń:
1) dodanie wiersza ostatniego do wiersza pierwszego
2) odjęcie kolumny ostatniej od kolumny pierwszej
daje:
\(\displaystyle{ \det(A_n)=\left|\begin{array}{cccccccc}0&0&0&0&.&.&.&0&1\\0&0&1&1&.&.&.&1&1\\0&-1&0&1&.&.&.&1&1\\0&-1&-1&0&.&.&.&1&1\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\.&.&.& & & &.&.&.\\1&-1&-1&-1&.&.&.&0&1\\0&-1&-1&-1&.&.&.&-1&0\end{array}\right|}\)

Rozwiniecie tego wyznacznika względem pierwsze go wiersza, a następnie względem pierwszej kolumny daje \(\displaystyle{ \det(A_n)= \ - \ \det(B_{n-2})}\)
gdzie \(\displaystyle{ B_k}\) to macierz stopnia \(\displaystyle{ k}\), o zerach na diagonali głównej , jedynkach nad tą diagonalą i minus jedynkach pod nią. Wyznacznik każdej macierzy antysymetrycznej nieparzystego stopnia jest stopnia jest zerowy, a stąd \(\displaystyle{ \det(A_{2m+1})=-\det(B_{2m-1})=0}\). Pozostaje wykazać ( np: przez dodanie wiersza ostatniego do wiersza pierwszego oraz dodanie kolumny ostatniej od kolumny pierwszej) , że wyznacznik każdej macierzy \(\displaystyle{ B_n}\) parzystego stopnia jest jedynką, a stąd \(\displaystyle{ \det(A_{2m})=-\det(B_{2m-2})=-1}\)

PS

Gouranga pisze: 15 lut 2024, o 14:44 możesz skorzystać z faktu, że dla macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jeśli zapiszesz jej rzędy w odwrotnej kolejności, od ostatniego do pierwszego to wyznacznik mnożysz przez \(\displaystyle{ (-1)^n}\)

To nie jest prawda.

kerajs pisze: 19 lut 2024, o 10:25
PS

Gouranga pisze: 15 lut 2024, o 14:44 możesz skorzystać z faktu, że dla macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jeśli zapiszesz jej rzędy w odwrotnej kolejności, od ostatniego do pierwszego to wyznacznik mnożysz przez \(\displaystyle{ (-1)^n}\)

To nie jest prawda.

Czemu ?
Podaj uzasadnienie

Nie potrzeba tego uzasadniać skoro wystarczy jeden kontrprzykład. Przykładowo, dla dowolnej nieosobliwej macierzy \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) jej wyznacznik i wyznacznik z macierzy o zmienionych wierszach są przeciwne, a nie równe.
Może miało być:

dla macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\) jeśli zapiszesz jej wiersze w odwrotnej kolejności, od ostatniego do pierwszego to wyznacznik mnożysz przez \(\displaystyle{ (-1)^{\left[ \frac{n}{2} \right] } }\) (albo przez \(\displaystyle{ (-1)^{ \frac{(n-1)n}{2} }}\) )

A możliwe że źle policzył liczbę zamian wierszy