Matematyka.pl

Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni liniowych:
a) \(\displaystyle{ S=\left\{ (x+2y,-2y,3x+2y):x,y\in \RR\right\} }\)
b) \(\displaystyle{ S=\left\{ (z + y − x, 2x − y, −y − z, x + y + 3z):x,y\in \RR\right\} }\)
c) \(\displaystyle{ S=\left\{ (x − y + z, 2x − 2y + 2z, −3x − y − 7z, −x − 2z):x,y\in \RR\right\} }\)

Proszę o sprawdzenie:
a) \(\displaystyle{ x(1,0,3)+y(2,-2,2)}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\2&-2&2\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&1&2\end{array}\right] }\) i tu już widać, że te wektory są niezależne zatem, baza to może być na przykład \(\displaystyle{ V=\left\{ (1,0,3),(2,-2,2)\right\} }\) i \(\displaystyle{ \dim V=2}\).
b) \(\displaystyle{ x(-1,2,0,1)+y(1,-1,-1,1)+z(1,0,-1,3)}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&2&0&1\\1&-1&-1&1\\1&0&-1&3\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{ccc}1&-2&0&-1\\0&1&-1&2\\0&2&-1&4\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{ccc}1&0&-2&3\\0&1&-1&2\\0&0&1&0\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0&3\\0&1&-0&2\\0&0&1&0\end{array}\right] }\),
mamy trzy schodki, zatem te trzy wektory są niezależne więc baza to na przykład:
\(\displaystyle{ V=\left\{ (-1,2,0,1),(1,-1,-1,1),(1,0,-1,3)\right\} }\) i \(\displaystyle{ \dim V=3}\).
c) \(\displaystyle{ x(1,2,-3,-1)+y(-1,-2,-1,0)+z(1,2,-7,-2)}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&-3&-1\\-1&-2&-1&0\\1&2&-7&-2\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{ccc}1&2&-3&-1\\0&0&-4&-1\\0&0&-4&-1\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{ccc}1&2&0&- \frac{1}{4} \\0&0&1& \frac{1}{4} \\0&0&0&0\end{array}\right]}\).
Zatem trzeci wektor jest kombinacją liniową dwóch pierwszych stąd baza to na przykład \(\displaystyle{ V=\left\{ (1,2,-3,-1),(-1,-2,-1,0)\right\} }\) i \(\displaystyle{ \dim V=2}\).

Dobrze, tylko nie \(\displaystyle{ \dim V}\), tylko \(\displaystyle{ \dim S}\) - to przestrzeń liniowa ma wymiar, a nie baza.

JK

Racja.