Matematyka.pl

Określamy funk liniową \(\displaystyle{ g:C^{3} C^{3}}\) wzorem \(\displaystyle{ g((x,y,z))=(y,-z,x)}\) i teraz:
1)wartościa wlasną g jest? (i byloby milo gdyby ktoś jeszcze wyjasnił dlaczego taka a nie inna wartosc)
2)wektorem wlasnym jest? (analogicznie)

Macierza przeksztalcenia liniowego \(\displaystyle{ g}\) jest macierz A, nastepujacej postaci:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc} 0&1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{array}\right]}\)
Wartosciami wlasnymi macierzy A, nazywamy rozwiazania ponizszego rownania:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ I}\) macierz jednostkowa.
Obliczmy wartosc wyrazenia:
\(\displaystyle{ (A-\lambda I)=\left[\begin{array}{ccc} -\lambda&1&0\\0&-\lambda&-1\\1&0&-\lambda\end{array}\right]}\)
Stad:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=Z-\lamdba^3-1}\)
Rozwiazaniem rownania:
\(\displaystyle{ -\lambda^3-1=0}\) jest \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)
Wartoscia wlasna macierzy A jest \(\displaystyle{ -1}\)

Przejdzmy do obliczenia wektora wlasnego macierzy A
W tym celu obliczymy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} -\lambda&1&0\\0&-\lambda&-1\\1&0&-\lambda\end{array}\right] ft[\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right]}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 1&1&0\\0&1&-1\\1&0&1\end{array}\right] ft[\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\0\\0 \end{array}\right]}\)
Po wykonaniu dzialan na macierzach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=0\\x_2-x_3=0\\x_1+x_3=0\end{array}}\)
Latwo zauwazyc,ze jezeli dodamy do rownania 2 rownanie 3 otrzymamy rownanie 1.
W dalszych obliczeniach mozemy zatem pominac jedno z powyzszych rownan i rozawaz nastepujacy uklad:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0\\x_1+x_3=0\end{array}}\)
Podstawmy za \(\displaystyle{ x_3=t}\) gdzie \(\displaystyle{ t\in R}\)
Rozwiazaniem powyzszego ukladu rownan jest nastepujaca trojka:
\(\displaystyle{ t(-1,1,1)}\)
Zatem wektorym wlasnym macierzy A jest \(\displaystyle{ (-1,1,1)}\)