Matematyka.pl

Witam. Może ktoś się orientuje, czy istnieją twierdzenia pozwalające porównywać wektory własne w jakiś sposób powiązanych ze sobą macierzy? Na przykład jeśli mamy wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A^m}\), to czy możemy coś na tej podstawie powiedzieć o wektorach własnych macierzy \(\displaystyle{ A^k}\)? Albo, w ogólniejszym przypadku, jeśli znamy wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A^k B^l}\), to czy możemy powiedzieć coś o wektorach własnych macierzy \(\displaystyle{ A^m B^n}\)?

Jeśli mamy \(\displaystyle{ Ax=\lambda x}\), to \(\displaystyle{ A^2 x = AAx = A\lambda x = \lambda Ax = \lambda^2 x}\). Indukcyjnie \(\displaystyle{ A^mx = \lambda^m x}\). Innymi słowy jeśli mamy wektor własny \(\displaystyle{ x}\) odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ x}\) jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda^m}\) macierzy \(\displaystyle{ A^m}\).

Dziękuję serdecznie.