Matematyka.pl

Jak pokazać, że prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ lin \left( v_{1},\dots,v_{k},\dots, v_{l},\dots,v_{m} \right) = lin ( v_{1},\dots,\underbrace{v_{l}}\limits_{\text{k}},\dots,\underbrace{v_{k}}\limits_{\text{l}},\dots,v_{m} )}\)

dla \(\displaystyle{ 1 \le k < l \le m, \\
}\)
Chodzi mi o dokładne rachunkowe wytłumaczenie tego zagadnienia oraz co w zasadzie oznaczają klamry w 2 równości. Polecenie jest dość niejasne.

Klamry w zapisie prawego zbioru wszystkich kombinacji liniowych wektorów oznaczają, że na miejscu o numerze \(\displaystyle{ k }\) stoi wektor \(\displaystyle{ v_{l} }\) zaś na miejscu \(\displaystyle{ l-}\) tym wektor \(\displaystyle{ v_{k}.}\)

Dowód tej równości wynika z definicji zbioru wszystkich kombinacji liniowych wektorów (powłoki liniowej układu wektorów) \(\displaystyle{ \Lin(...). }\)

\(\displaystyle{ \beta \in Lin( \alpha_{1}, ... \alpha_{m}) \Leftrightarrow \beta = \sum_{i=1}^{m} a_{i} \alpha_{i} , }\)

dla \(\displaystyle{ \alpha_{1}, \ \ ... \ \ ,\alpha_{m} \in V }\) (przestrzeni liniowej) i \(\displaystyle{ a_{1}, \ \ ... \ \ a_{m} \in K }\) (ciała).