Matematyka.pl

Rozważmy macierz
\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array} &5 &-4&2 \\ -4&5&2 \\ 2&2&8\end{array} \right] }\)

a)Czy wektor \(\displaystyle{ (2,0,1)}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ C}\)?
b)Wyznacz wszystkie wartości własne \(\displaystyle{ C}\).
c)Wskaż wszystkie wektory własne \(\displaystyle{ C}\).

Proszę o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ \det \left[\begin{array} &5-\lambda &-4&2 \\ -4&5-\lambda&2 \\ 2&2&8-\lambda\end{array} \right]=}\)
\(\displaystyle{ =\det \left[\begin{array} &5-\lambda &1-\lambda&2 \\ \lambda-9&0&0 \\ 2&4&8-\lambda\end{array} \right]=-(\lambda-9)((1-\lambda)(8-\lambda)-8)=\lambda(9-\lambda)(\lambda-9)}\).
Wartości własne to \(\displaystyle{ \lambda_1=0,\lambda_2=9,\lambda_3=9}\).
Dla \(\displaystyle{ \lambda_1=0}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array} &5 &-4&2 \\ -4&5&2 \\ 2&2&8\end{array} \right] \rightarrow }\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left[\begin{array} &1 &1&4 \\ 0&9&18 \\ 0&0&0\end{array} \right]}\), stąd
\(\displaystyle{ x+y+4z=0}\)
\(\displaystyle{ 9y+18z=0}\), stąd
\(\displaystyle{ y=-2z}\)
\(\displaystyle{ x=-2z}\), więc wektor własny dla tej wartości własnej to na przykład \(\displaystyle{ (-2,-2,1)}\).
Dla \(\displaystyle{ \lambda_2,\lambda_3=9}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array} &-4 &-4&2 \\ -4&-4&2 \\ 2&2&-1\end{array} \right] \rightarrow }\)
\(\displaystyle{ \rightarrow \left[\begin{array} &0 &0&0 \\ 0&0&0 \\ 2&2&-1\end{array} \right]}\), więc
\(\displaystyle{ z=2x+2y}\). Stąd mamy wektory własne: \(\displaystyle{ (1,0,2),(0,1,2)}\).
a) Zatem wektor \(\displaystyle{ (2,0,1)}\) nie jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ C}\), gdyż nie jest proporcjonalny do żadnego z wektorów własnych.
b) Wartości własne to \(\displaystyle{ \lambda_1=0,\lambda_2=\lambda_3=9}\).
c) Wektory własne jak wyżej.

max123321 pisze: 23 cze 2025, o 14:49 a) Zatem wektor \(\displaystyle{ (2,0,1)}\) nie jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ C}\), gdyż nie jest proporcjonalny do żadnego z wektorów własnych.

To jest poprawna odpowiedź, ale zły argument. Tutaj masz dwuwymiarową przestrzeń własną, więc można być wektorem własnym nie będąc proporcjonalnym do żadnego z podanych przez Ciebie wektorów własnych, np. wektor \(\displaystyle{ (-1,1,0)}\) jest własny.

max123321 pisze: 23 cze 2025, o 14:49 b) Wartości własne to \(\displaystyle{ \lambda_1=0,\lambda_2=\lambda_3=9}\).

Dobrze.

max123321 pisze: 23 cze 2025, o 14:49c) Wektory własne jak wyżej.

Za mało, wskazałeś tylko trzy wektory własne, a miałeś wskazać wszystkie, czyli - innymi słowy - wyznaczyć przestrzenie własne.

JK

Ok, to poprawka:

a) Wektor \(\displaystyle{ (2,0,1)}\) nie jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ C}\), gdyż nie jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ (1,0,2),(0,1,2)}\), ani nie jest proporcjonalny do wektora \(\displaystyle{ (-2,-2,1)}\).

c) Mamy dwie przestrzenie własne: \(\displaystyle{ lin((1,0,2),(0,1,2))}\) i \(\displaystyle{ lin(-2,-2,1)}\),

zgadza się?

Tak (choć z tą kombinacją liniową zawsze pojawia się pytanie "a dlaczego?"...)..

JK

Ok, to można uzasadnić na przykład tak: Macierz utworzona z tych trzech wektorów jako kolumny czyli
\(\displaystyle{ \left[\begin{array} &1&0&2 \\ 0&1&0 \\ 2&2&1\end{array} \right]}\)
można operacjami elementarnymi sprowadzić do macierzy jednostkowej, stąd rząd macierzy jest równy liczbie wektorów czyli trzy, więc te wektory są liniowo niezależne. W szczególności trzeci wektor nie jest kombinacją liniową pierwszych dwóch.

W ten sposób?

Można, ale...

Przecież (poniekąd) wyznaczyłeś podprzestrzeń własną dla \(\displaystyle{ \lambda=9}\), mianowicie \(\displaystyle{ V^9=\{(x,y,z)\in\RR^3: z=2x+2y\}}\), więc sprawdzenie, że \(\displaystyle{ (2,0,1)\notin V^9}\) jest natychmiastowe.

JK