Dodatkowo chciałbym zrozumieć jak się oblicza \(\displaystyle{ \dim\ker}\) i \(\displaystyle{ \dim\Im}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Przestrzenie liniowe
-
MarianP
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 3 wrz 2018, o 14:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Przestrzenie liniowe
Witam, potrzebuję ogarnąć algorytm wykonywania takich zadań.
Dodatkowo chciałbym zrozumieć jak się oblicza \(\displaystyle{ \dim\ker}\) i \(\displaystyle{ \dim\Im}\)
Z góry dziękuję za pomoc
Dodatkowo chciałbym zrozumieć jak się oblicza \(\displaystyle{ \dim\ker}\) i \(\displaystyle{ \dim\Im}\)
Z góry dziękuję za pomoc
- Załączniki
-
Ostatnio zmieniony 1 lip 2024, o 23:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Re: Przestrzenie liniowe
Zadanie 3
1.
Sprowadzamy do postaci schodkowej macierz, której wierszami są wektory rozpinające podprzestrzeń \(\displaystyle{ U.}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1& 1 & 0 &0 \\ 0&2 &1 &1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 6 & 4 & 2 & 2 \end{bmatrix} }\)
\(\displaystyle{ w_{3} - w_{1}, \ \ w_{4} - 2w_{1} }\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1& 1 & 0 &0 \\ 0&2 &1 &1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} }\)
\(\displaystyle{ w_{3}- w_{2}, \ \ w_{4} - 2w_{2} }\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1& 1 & 0 &0 \\ 0&2 &1 &1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }\)
Stąd układ \(\displaystyle{ \mathcal{B}_{U} = \left\{ (2,1, 1, 0, 0), \ \ (0,2,1,1,1) \right\} }\) jest bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ U }\), której wymiar \(\displaystyle{ \dim(U) = 2.}\)
Analogicznie:
2.
Znajdujemy bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ W}\)
3.
Znajdujemy bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ U + W }\)
4.
Z równania \(\displaystyle{ \dim(U\cap V) = \dim(U) + \dim(V) - \dim(U + W) }\) obliczamy wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ U\cap W.}\)
5.
Znajdujemy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ U \cap W.}\)
1.
Sprowadzamy do postaci schodkowej macierz, której wierszami są wektory rozpinające podprzestrzeń \(\displaystyle{ U.}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1& 1 & 0 &0 \\ 0&2 &1 &1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 6 & 4 & 2 & 2 \end{bmatrix} }\)
\(\displaystyle{ w_{3} - w_{1}, \ \ w_{4} - 2w_{1} }\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1& 1 & 0 &0 \\ 0&2 &1 &1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 2 & 2 & 2 \end{bmatrix} }\)
\(\displaystyle{ w_{3}- w_{2}, \ \ w_{4} - 2w_{2} }\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 & 1& 1 & 0 &0 \\ 0&2 &1 &1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }\)
Stąd układ \(\displaystyle{ \mathcal{B}_{U} = \left\{ (2,1, 1, 0, 0), \ \ (0,2,1,1,1) \right\} }\) jest bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ U }\), której wymiar \(\displaystyle{ \dim(U) = 2.}\)
Analogicznie:
2.
Znajdujemy bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ W}\)
3.
Znajdujemy bazę i wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ U + W }\)
4.
Z równania \(\displaystyle{ \dim(U\cap V) = \dim(U) + \dim(V) - \dim(U + W) }\) obliczamy wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ U\cap W.}\)
5.
Znajdujemy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ U \cap W.}\)
-
MarianP
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 3 wrz 2018, o 14:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
Re: Przestrzenie liniowe
Dzięki wielkie,
Więc \(\displaystyle{ \dim(U) = 2}\) to po prostu rząd tej macierzy, tak?
Więc \(\displaystyle{ \dim(U) = 2}\) to po prostu rząd tej macierzy, tak?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 8035
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1707 razy
Re: Przestrzenie liniowe
Tak.
Dodano po 6 dniach 21 godzinach 13 minutach 14 sekundach:
Z definicji macierzy przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} , \ \ f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \ \ f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ 1\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} -1 \\ \ \ 1 \\ -1 \end{bmatrix}.}\)
Wektory \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}, \ \ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}, \ \ \begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ 1\end{bmatrix} }\) tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3. }\)
Wyrażamy współrzędne przekształcenia linowego \(\displaystyle{ f }\) w tej bazie.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ 1\end{bmatrix} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ U: \begin{cases} x_{1} = \alpha \\ x_{2} = \alpha + \beta + 2\gamma \\ x_{3} = \alpha + \beta + \gamma \end{cases} }\)
Odejmując stronami równanie trzecie od drugiego i uwzględniając równanie pierwsze, otrzymujemy rozwiązanie układu \(\displaystyle{ U }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha = x_{1} \\ \beta = -x_{1} -x_{2} +3x_{3} \\ \gamma = x_{2} - x_{3} \end{cases} }\)
Z określenia przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ f \left( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}\right) = f\left( x_{1} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + (-x_{1}-x_{2}+2x_{3}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + (x_{2} -x_{3}) \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right) =}\)
\(\displaystyle{ = x_{1}\cdot \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} + (-x_{1}-x_{2}+3x_{3}) \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + (x_{2}-x_{3}) \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ \ \ 1 \\ -1 \end{bmatrix}. }\)
\(\displaystyle{ f \left( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ 2x_{3} \\ -2x_{2}+4x_{3} \end{bmatrix}.
}\)
Macierz tego przekształcenia w bazie standardowej ma postać
\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{st} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}. }\)
Dodano po 48 minutach 30 sekundach:
Korekta:
\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{st} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}. }\)
Dodano po 6 dniach 21 godzinach 13 minutach 14 sekundach:
Z definicji macierzy przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} , \ \ f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \ \ f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ 1\end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} -1 \\ \ \ 1 \\ -1 \end{bmatrix}.}\)
Wektory \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}, \ \ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}, \ \ \begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ 1\end{bmatrix} }\) tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3. }\)
Wyrażamy współrzędne przekształcenia linowego \(\displaystyle{ f }\) w tej bazie.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 0 \\ 2\\ 1\end{bmatrix} }\)
Stąd
\(\displaystyle{ U: \begin{cases} x_{1} = \alpha \\ x_{2} = \alpha + \beta + 2\gamma \\ x_{3} = \alpha + \beta + \gamma \end{cases} }\)
Odejmując stronami równanie trzecie od drugiego i uwzględniając równanie pierwsze, otrzymujemy rozwiązanie układu \(\displaystyle{ U }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha = x_{1} \\ \beta = -x_{1} -x_{2} +3x_{3} \\ \gamma = x_{2} - x_{3} \end{cases} }\)
Z określenia przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ f \left( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}\right) = f\left( x_{1} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + (-x_{1}-x_{2}+2x_{3}) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + (x_{2} -x_{3}) \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right) =}\)
\(\displaystyle{ = x_{1}\cdot \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} + (-x_{1}-x_{2}+3x_{3}) \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + (x_{2}-x_{3}) \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ \ \ 1 \\ -1 \end{bmatrix}. }\)
\(\displaystyle{ f \left( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ 2x_{3} \\ -2x_{2}+4x_{3} \end{bmatrix}.
}\)
Macierz tego przekształcenia w bazie standardowej ma postać
\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{st} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}. }\)
Dodano po 48 minutach 30 sekundach:
Korekta:
\(\displaystyle{ \mathcal{M}_{st} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}. }\)