Jest takie przekształcenie:
\(\displaystyle{ \vec{E}\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)=
\vec{k}_{i}\epsilon_{ijk}E_j\left(\nabla\times\vec{E}\right)_k=
\vec{k}_{i}\epsilon_{jk}E_j\epsilon_{klm}\nabla_l E_m=
\vec{k}_i\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}E_j\nabla_l E_m=\vec{k}_i\left(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}\right)E_j\nabla_l E_m=}\)
\(\displaystyle{ =\vec{k}_i\delta_{il}\delta_{jm}E_j\nabla_l E_m-\vec{k}_i\delta_{im}\delta_{jl}E_j\nabla_l E_m=\vec{k}_i jE_j\nabla_i E_j-\vec{k}_i E_j\nabla_j E_i=\\{{1}\over{2}}\nabla E^2-\left(\vec{E}\nabla\right)\vec{E}}\)
Wygląda fajnie, tylko nie rozumiem tego w ogóle. Mógłby ktoś mi to wytłumaczyć?
Myślę, że ma to jakiś związek z macierzami, ale jeśli jakiś inny dział jest lepszy to proszę o przesunięcie.
Przekształcenie wzoru
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5354
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Przekształcenie wzoru
To nie macierze, tylko pola wektorowe. Trochę to dziwnie zapisane, bo formalnie definiuje się mnożenie liczby przez wektor, a nie wektora przez liczbę - więc \(\displaystyle{ \vec{k}_i}\) powinien stać na końcu każdego wyrażenia, a nie na początku.
\(\displaystyle{ \delta_{ij}}\) to delta Kroneckera, natomiast \(\displaystyle{ \epsilon_{ijk}}\) to symbol Leviego-Civity:
\(\displaystyle{ \epsilon_{ijk} = \begin{cases} 0 & \mbox{gdy } i=j \mbox{ lub } j=k \mbox{ lub } k=i\\ 1 & \mbox{gdy } (i,j,k) \mbox{ to permutacja parzysta } \\ -1 & \mbox{gdy } (i,j,k) \mbox{ to permutacja nieparzysta } \\ \end{cases}.}\)
Czyli - jeśli którykolwiek symbol się powtarza, to mamy 0, np \(\displaystyle{ \epsilon_{212}=0}\). Dla niepowtarzających się symboli mamy \(\displaystyle{ \epsilon_{123}=\epsilon_{312}=\epsilon_{231}=1}\), a pozostałe trzy są równe -1.
Związek między deltą Kroneckera a symbolem Leviego-Civity to \(\displaystyle{ \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}}\).
Wobec powyższego widać, że iloczyn wektorowy (w układzie kartezjańskim) można zdefiniować za pomocą tego symbolu następująco:
\(\displaystyle{ \vec c = \vec a \times \vec b = \epsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\vec{k}_{i}.}\)
przy czym \(\displaystyle{ \vec a =[a_1,a_2,a_3],\ \veb b=[b_1,b_2,b_3],\ \vec{k}_{1}, \vec{k}_{2}, \vec{k}_{3}}\) są wersorami osi układu (zwykle oznacza się je przez \(\displaystyle{ \overline{\imath},\overline{ \jmath}, \overline{k}}\), ale wtedy zapisu symbolicznego ładnie się nie zrobi). Oczywiście w tym zapisie został pominięty symbol sumy.
To wyjaśnia wszystko z wyjątkiem ostatniego przejścia - żeby go zrozumieć, trzeba sobie przypomnieć, że nabla jest operatorem różniczkowym, który dla układu kartezjańskiego jest postaci \(\displaystyle{ \nabla=\left[ \frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right]}\). Dalej, \(\displaystyle{ E^2}\) oznacza iloczyn skalarny wektora E przez siebie, więc to jest pole skalarne, a \(\displaystyle{ \vec{E}\nabla}\) oznacza iloczyn skalarny wektorów.
Jest tu jeden błąd w Twoim zapisie - w przedostatnim wyrażeniu w pierwszym składniku masz jakieś nadmiarowe j (nie ma tam mnożenia przez j).
Jeśli prześledzisz te przekształcenia zgodnie z tym, co napisałam wyżej, to tak właśnie wychodzi.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \delta_{ij}}\) to delta Kroneckera, natomiast \(\displaystyle{ \epsilon_{ijk}}\) to symbol Leviego-Civity:
\(\displaystyle{ \epsilon_{ijk} = \begin{cases} 0 & \mbox{gdy } i=j \mbox{ lub } j=k \mbox{ lub } k=i\\ 1 & \mbox{gdy } (i,j,k) \mbox{ to permutacja parzysta } \\ -1 & \mbox{gdy } (i,j,k) \mbox{ to permutacja nieparzysta } \\ \end{cases}.}\)
Czyli - jeśli którykolwiek symbol się powtarza, to mamy 0, np \(\displaystyle{ \epsilon_{212}=0}\). Dla niepowtarzających się symboli mamy \(\displaystyle{ \epsilon_{123}=\epsilon_{312}=\epsilon_{231}=1}\), a pozostałe trzy są równe -1.
Związek między deltą Kroneckera a symbolem Leviego-Civity to \(\displaystyle{ \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}}\).
Wobec powyższego widać, że iloczyn wektorowy (w układzie kartezjańskim) można zdefiniować za pomocą tego symbolu następująco:
\(\displaystyle{ \vec c = \vec a \times \vec b = \epsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\vec{k}_{i}.}\)
przy czym \(\displaystyle{ \vec a =[a_1,a_2,a_3],\ \veb b=[b_1,b_2,b_3],\ \vec{k}_{1}, \vec{k}_{2}, \vec{k}_{3}}\) są wersorami osi układu (zwykle oznacza się je przez \(\displaystyle{ \overline{\imath},\overline{ \jmath}, \overline{k}}\), ale wtedy zapisu symbolicznego ładnie się nie zrobi). Oczywiście w tym zapisie został pominięty symbol sumy.
To wyjaśnia wszystko z wyjątkiem ostatniego przejścia - żeby go zrozumieć, trzeba sobie przypomnieć, że nabla jest operatorem różniczkowym, który dla układu kartezjańskiego jest postaci \(\displaystyle{ \nabla=\left[ \frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right]}\). Dalej, \(\displaystyle{ E^2}\) oznacza iloczyn skalarny wektora E przez siebie, więc to jest pole skalarne, a \(\displaystyle{ \vec{E}\nabla}\) oznacza iloczyn skalarny wektorów.
Jest tu jeden błąd w Twoim zapisie - w przedostatnim wyrażeniu w pierwszym składniku masz jakieś nadmiarowe j (nie ma tam mnożenia przez j).
Jeśli prześledzisz te przekształcenia zgodnie z tym, co napisałam wyżej, to tak właśnie wychodzi.
Pozdrawiam.