Potęga macierzy

Malkolm · Post autor: **Malkolm** » 23 paź 2010, o 11:38

Znaleźć \(\displaystyle{ \left(\frac{2}{3}A+\frac{1}{3}B\right)^n}\), gdzie
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\)
oraz
\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ A^2=B}\), \(\displaystyle{ B^2=A}\), \(\displaystyle{ AB=BA=I}\) (macierz jednostkowa) i następnie

\(\displaystyle{ \left(\frac{2}{3}A+\frac{1}{3}B\right)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \left(\frac{2}{3}A\right)^k \left(\frac{1}{3}B\right)^{n-k}}\)

ale co dalej...

abc666 · Post autor: **abc666** » 23 paź 2010, o 12:00

\(\displaystyle{ B=A^{-1}\\B^2=A\\B^3=A^3=I}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \left(\frac{2}{3}A\right)^k \left(\frac{1}{3}B\right)^{n-k}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \left(\frac{2}{3}\right)^k \left(\frac{1}{3}\right)^{n-k}A^{k}\left( A^{-1}\right) ^{n-k}=(*)\\
A^{k}\left( A^{-1}\right) ^{n-k}=A^{k}\left( A^{-1}\right) ^{k+n-2k}=\left( A^{-1}\right) ^{n-2k}=B^{n-2k\ (mod\ 3)}\\
(*)=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\left( \frac{1}{3}\right) ^n 2^k B^{n-2k\ (mod\ 3)}=\left( \frac{1}{3}\right) ^n\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 2^k B^{n-2k\ (mod\ 3)}}\)

Czyli jak się to tam rozpisze to dostaniemy
\(\displaystyle{ a_n A+b_nB+c_nI}\)

Malkolm · Post autor: **Malkolm** » 23 paź 2010, o 15:25

Rozumiem tylko te współczynniki nie chcą mi wyjść, dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ \left(\frac{2}{3}A+\frac{1}{3}B\right)^n=\frac{1}{3^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{3}\right] } 2^{3k} {n \choose 3k} I + \frac{1}{3^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac{n-1}{3}\right] } 2^{3k+1} {n \choose 3k+1} B + \frac{1}{3^n} \sum_{k=0}^{\left[\frac{n-2}{3}\right] } 2^{3k+2} {n \choose 3k+2} A}\) (co zresztą się nie zgadza)

abc666 · Post autor: **abc666** » 23 paź 2010, o 17:01

Hmm może jednak lepiej zapisać tak

\(\displaystyle{ A^{k}\left( A^{-1}\right) ^{n-k}=A^{n-k+2k}\left( A^{-1}\right) ^{n-k}=A^{2k}=B^k}\)

Wtedy suma bedzie taka
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3}\right) ^n\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 2^k B^{k}}\)
Ładniej widać co przy czym będzie stało.