Matematyka.pl

Niezawodny max rozwiązał problemy:

219101.htm
219108.htm

Które mi wyszły przy okazji innego problemu:

Rozstrzygnąć, czy różnowartościowe odwzorowanie płaszczyzny w siebie, \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2}\), takie, że obrazami linii prostych są linie proste, jest przekształceniem afinicznym (czyli \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-f(0)}\) liniowym).

(Jeśli komuś wygodniej, to może założyć dodatkowo, że odwzorowanie jest "na".)

Z tą niezawodnością to różnie bywa.

Dość prosto jest zauważyć, że nasza funkcja po odjęciu wartości w zerze jest addytywna (a więc \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)-liniowa) - wystarczy odnotować, że zachowuje wierzchołki równoległoboku (to załatwia przypadek niezdegenerowany, do którego sprowadzić możemy również ten zdegenerowany).

Żeby wykończyć dowód przyda się twierdzenie Talesa.
Bez straty ogólności \(\displaystyle{ f(1,0) = (1,0), \ f(0,1) = (0,1)}\) (składamy z odpowiednim izomorfizmem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)-liniowym).
Pokażemy, że \(\displaystyle{ f = (f_{1},f_{2})}\) jest rosnąca na osiach.
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ x\in (0,\infty)}\).
Prowadzimy przez osie proste przecinające je w punktach \(\displaystyle{ (x,0), (x^{2}+x,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1), (0,1+x)}\) - z twierdzenia Talesa są one równoległe.
Zatem równoległe są proste przecinające osie w punktach \(\displaystyle{ f_{1}(x,0), f_{1}(x^{2},0) + f_{1}(x,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,1), (0,1) +f_{2}(0,x)}\).
Z twierdzenia Talesa mamy teraz \(\displaystyle{ f_{1}(x,0)f_{2}(0,x) = f_{1}(x^{2},0)}\).
Powtarzając to samo rozumowanie z osiami zamienionymi miejscami dostajemy \(\displaystyle{ f_{2}(0,x)f_{1}(x,0) = f_{2}(0,x^{2})}\).
Czyli \(\displaystyle{ f_{2}(0,x^{2}) = f_{1}(x^{2},0)}\).
Zastępując w tym rozumowaniu na chwilę \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ f_{2}(0,x)=f_{1}(x,0)}\).
Wtedy mamy \(\displaystyle{ f_{2}(0,x^{2}) = f_{1}(x^{2},0) = f_{1}(x,0)^{2}>0}\).
Ponownie wstawiając \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) dostajemy \(\displaystyle{ f_{2}(0,x) = f_{1}(x,0) > 0}\).
Stąd jeśli \(\displaystyle{ x > y}\), to \(\displaystyle{ f_{2}(0,x) - f_{2}(0,y) = f_{1}(x,0) - f_{1}(y,0) = f_{1}(x-y,0) > 0}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna i addytywna na obu osiach, to jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)-liniowa na tych osiach a więc musi być \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)-liniowa na całej płaszczyźnie.

A to z kolei znacznie prostsze rozwiązanie od mojego, używającego dwustosunku (cross-ratio), czyli zaczynające się od pokazania, że to odwzorowanie jest rzutowe, więc mamy rozdzielanie - analogicznie do monotoniczności w argumencie wyżej.