Matematyka.pl

Zad. przeprowadzić dyskusję ilości rozwiązań układu równan w zależności od parametru \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} ax+y+z=1\\x+ay+z=a\\x+y+az=a^2 \end{array}}\)

liczymy:

\(\displaystyle{ Wg=(a-1)^2(a+2)}\) , \(\displaystyle{ Wx=(a-1)(1-a)(1+a)}\) , \(\displaystyle{ Wy=(a-1)^2}\) , \(\displaystyle{ Wz=(a-1)^2(a+1)^2}\)

1) Układ ma jedno rozwiązanie gdy \(\displaystyle{ Wg \neq 0}\) więc dla \(\displaystyle{ a \neq 1}\) \wedge \(\displaystyle{ a \neq -2}\)
2)...sprzeczny gdy Wg=0 i jednoczesnie przynajmniej jeden z wyznaczników dla zmiennych jest rózny od zera. I TU MOJE PYTANIE- czy ten 'przynajmniej jeden z wyznacznikow 'moge sobie wybrac dowolnie ? np \(\displaystyle{ Wy \neq 0 \neq (a-1)^2 \neq 1}\) ? i wtedy bedzie dla \(\displaystyle{ a=-2 \wedge a=1}\)
3)..nieskończenie wiele, gdy jednoczesnie zerują się wszystkie wyznaczniki, czyli dla \(\displaystyle{ a=1, a=-2, a=-1}\) ??

Pytanie co robię zle, ponieważ w 2) i 3) jest inna odpowiedz : mianowicie 2)\(\displaystyle{ a=-2}\)3)\(\displaystyle{ a=1}\)

W punkcie drugim patrzysz dla jakich \(\displaystyle{ a}\) zeruje się głowny wyznacznik i bieresz te \(\displaystyle{ a}\) i patrzysz czy chociaż jeden z wyznaczników będzie niezerowy. Jak podstawisz \(\displaystyle{ a=1}\) to wszystkie wyznaczniki się zerują, stąd dla niego będzie nieskończenie wiele rozwiązan.

Dla \(\displaystyle{ a=-2}\) wyznacznik głowny się zeruje np. \(\displaystyle{ W_{y} \neq 0}\) stąd sprzeczny.