Matematyka.pl

Hej,

wiecie moze jak udowodnić, ze kazda grupa skończona cykliczna jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ_n}\)?

pozdrawiam,
freeze

Niech G bedzie grupa skonczona cykliczna.
Niech \(\displaystyle{ |G|=n}\) i \(\displaystyle{ G=\{1,g,g^2,\ldots,g^{n-1}\},g^n=1}\)

\(\displaystyle{ f: \mathbb{G} \mathbb{Z}_n}\)
Zauwazmy ze funkcja:
\(\displaystyle{ f(g^n)=n}\)
jest bijekcja.
Zatem \(\displaystyle{ (\mathbb{G},\cdot),(\mathbb{Z}_n,+_{n})}\) sa izomorficzne

kuch2r pisze:Niech G bedzie grupa skonczona cykliczna.
Niech \(\displaystyle{ |G|=n}\) i \(\displaystyle{ G=\{1,g,g^2,\ldots,g^{n-1}\},g^n=1}\)

\(\displaystyle{ f: \mathbb{G} \mathbb{Z}_n}\)
Zauwazmy ze funkcja:
\(\displaystyle{ f(g^n)=n}\)
jest bijekcja.
Zatem \(\displaystyle{ (\mathbb{G},\cdot),(\mathbb{Z}_n,+_{n})}\) sa izomorficzne

Dziękuję bardzo!
Rozumiem, że n z \(\displaystyle{ f(g^n)=n}\), jest różne od n z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\)?

A da sie jakoś łatwo na podstawie tego twierdzenia pokazać, że istnieje dokładnie
jedna grupa rzędu 3?

pozdrawiam,
freeze

\(\displaystyle{ g^n}\) rozumiemy jako element neutralny w \(\displaystyle{ (\mathbb{G},\cdot)}\) natomiast \(\displaystyle{ n}\) jest rozumiane jako element neutralny w \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_n,+_{n})}\)

Mozesz dokladniej sprecyzowac swoje pytanie ?
czy ta grupa ma byc izomorficzna z jakas inna grupa ??

kuch2r pisze:\(\displaystyle{ g^n}\) rozumiemy jako element neutralny w \(\displaystyle{ (\mathbb{G},\cdot)}\) natomiast \(\displaystyle{ n}\) jest rozumiane jako element neutralny w \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_n,+_{n})}\)

Hmm, to przestałęm rozumieć tą funkcję. Czy ona przyporządkowuje elementowi neutralnego w grupie \(\displaystyle{ G}\) element neutralny w \(\displaystyle{ \ZZ_n}\)? Przepraszam, że ciemny jestem, ale trochę niejasna jest dla mnie ta bijektywność. Rozumiem, że dla \(\displaystyle{ k > n}\) mogę element z grupy \(\displaystyle{ G}\) zapisać jako
\(\displaystyle{ g^k = g^{qn+r} = g^{nq} \cdot g^r=g^r}\)
i myślałem, ze to mi wskazuje na izomorfizm z \(\displaystyle{ \ZZ_n}\), ale teraz przestałem troche rozumieć

Mozesz dokladniej sprecyzowac swoje pytanie ?
czy ta grupa ma byc izomorficzna z jakas inna grupa ??

Zadanie brzmi dokładnie tak jak napisałem :/, czyli pokazac, że istnieje dokładnie jedna grupa rzędu 3.

pozdrawiam serdecznie

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n=\{0,1,2,...,n-1\}}\) gdzie 0 jest elementem neutralnym w \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_n,+_{n})}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{G}=\{1,g,g^2,...,g^{n-1}\}}\) gdzie 1 jest elementem neutralnym w \(\displaystyle{ (\mathbb{G},\cdot)}\)
Niech teraz nasza funckja bedzie przeksztlcac:
\(\displaystyle{ 1\rightarrow 0\\g\rightarrow 1\\g^2\rightarrow 2\\\ldots\\g^{n-1}\rightarrow n-1\\g^n\rightarrow n}\)
Ale zgodnie z zalozeniem ze grupa \(\displaystyle{ \mathbb{G}}\) jest cykliczna \(\displaystyle{ g^n=1}\)
Ponadto \(\displaystyle{ n=0}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\)
Twoje rozumowanie jest poprawne.
Wezmy \(\displaystyle{ k>n}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ k=nq+r}\) gdzie \(\displaystyle{ 0\leq r}\)

kuch2r pisze:\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n=\{0,1,2,...,n-1\}}\) gdzie 0 jest elementem neutralnym w \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_n,+_{n})}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{G}=\{1,g,g^2,...,g^{n-1}\}}\) gdzie 1 jest elementem neutralnym w \(\displaystyle{ (\mathbb{G},\cdot)}\)
Niech teraz nasza funckja bedzie przeksztlcac:
\(\displaystyle{ 1\rightarrow 0\\g\rightarrow 1\\g^2\rightarrow 2\\\ldots\\g^{n-1}\rightarrow n-1\\g^n\rightarrow n}\)
Ale zgodnie z zalozeniem ze grupa \(\displaystyle{ \mathbb{G}}\) jest cykliczna \(\displaystyle{ g^n=1}\)
Ponadto \(\displaystyle{ n=0}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\)
Twoje rozumowanie jest poprawne.
Wezmy \(\displaystyle{ k>n}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ k=nq+r}\) gdzie \(\displaystyle{ 0\leq r}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ k=r}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\)
\(\displaystyle{ g^k=g^r}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{G}}\)

Ok, teraz rozumiem w pełni

Co do twojego drugiego pytanie:
Mozna powiedziec ze istnieje dokladnie jedna grupa rzedu 3 z dokladnoscia do izomorfizmu.

Hmm, a to wynika z tego że rząd elementu jest dzielnikiem rzędu grupy
i że tutaj jedynym nietrywialnym dzielnikiem jest 3 a jak rząd jest 3
to grupa musi być cykliczna i działania są jednoznacznie zdefiniowane?
Rozumiem, że dla elementów rzędu jeden to nie ma sensu?
To co napisałem, to chyba jakaś inna wersja twierdzenia Lagrange'a,
ale sam o końca nie wiem.
Hmm, myślisz, ze to jest OK?

pozdrawiam,
freeze

jezeli rzad grupy jest liczba pierwsza to grupa jest cykliczna. jest to konsekwencja twierdzenia lagrange'a. kazda grupa cykliczna jest izomorficzna z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\)