Matematyka.pl

Witam, mam problem z zadaniem, oto jego treść:

Opisać warstwy:
a) grupy \(\displaystyle{ Z_{9}}\) względem jej podgrupy \(\displaystyle{ H:= \{0,3,6 \}}\)
b) grupy \(\displaystyle{ Z}\) względem jej podgrupy \(\displaystyle{ 2Z}\)
c) grupy \(\displaystyle{ C}\) względem jej podgrupy \(\displaystyle{ H:= \{ z \in C: Im z=0 \}}\)

podpunkt a zrobiłam i warstwy wyszły mi \(\displaystyle{ \{0,3,6\} \ \{1,4,7\}\ i\ \{2,6,8\}}\)
niestety pozostałych nie potrafie rozwiązać w związku z tym prosze o pomoc.

(b) \(\displaystyle{ Z/2Z = \lbrace z + 2Z: z \in Z \rbrace}\).

Dla ustalonego \(\displaystyle{ z \in Z}\) \(\displaystyle{ z + 2Z = \lbrace z + k: k \in 2Z \rbrace}\).

\(\displaystyle{ 2Z = \lbrace ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... \rbrace}\).

Zatem dla parzystych \(\displaystyle{ z \in Z}\) \(\displaystyle{ z + 2Z = 2Z}\).

A dla nieparzystych \(\displaystyle{ z \in Z}\) \(\displaystyle{ z + 2Z = \lbrace ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... \rbrace}\).

Rozbiliśmy \(\displaystyle{ Z}\) na dwa zbiory rozłączne i to są właśnie wszystkie warstwy.

Zatem \(\displaystyle{ Z/2Z = \lbrace \lbrace ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... \rbrace, 2Z \rbrace}\).

(c) Niech \(\displaystyle{ z = a + bi \in C}\) będzie ustaloną liczbą.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ H = R}\).

\(\displaystyle{ z \in a + H \Leftrightarrow z - a \in R}\), bo warstwa grupy (addytywnej) względem swojej podgrupy \(\displaystyle{ H}\) to klasa abstrakcji relacji równoważności \(\displaystyle{ \sim}\) zadanej przez warunek

\(\displaystyle{ x \sim y \Leftrightarrow x - y \in H}\).

Zatem w naszym przypadku do jednej warstwy należą wszystkie liczby zespolone mające taką samą część urojoną (aby po odjęciu jednej od drugiej otrzymać liczbę rzeczywistą).

Zatem elementy \(\displaystyle{ C/H}\) to dokładnie wszystkie "poziome proste na płaszczyźnie".

Dziękuje za pomoc naprawde bardzo mi to pomogło

a gdybym w c) miała \(\displaystyle{ Re z=0}\) to jakby było?

Proste pionowe.

Dwie liczby byłyby ze sobą w relacji dokładnie wtedy, gdy miały by tę samą część rzeczywistą, bo tylko wtedy różnica może być czysto urojona.

Anka20 pisze: 28 paź 2010, o 17:50 a gdybym w c) miała \(\displaystyle{ Re z=0}\) to jakby było?

Mam pytanie, a jak zapisać ten przypadek nie opisowo, tylko bardziej matematycznie?

Warstwy byłyby postaci \(\displaystyle{ \{ x + yi : y \in \RR \}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\).